几种非线性演化方程数值求解方法的研究

论文摘要

随着非线性科学的快速发展,非线性演化方程的求解成为广大物理学、力学、应用数学、工程技术科学、地球科学和生命科学等领域的一个热门课题.现在虽然已经提出和发展了许多求非线性演化方程精确解的方法,但通常,只能求得特殊情况下方程的精确解,因此依靠数值方法求解非线性演化方程就显得非常重要.本文主要研究了修正Bernstein多项式Galerkin法、B样条Galerkin有限元方法和微分求积法,并用其做了以下工作:1.运用修正Bernstein多项式Galerkin法求解了Burgers方程和KdV-Burgers方程.数值结果表明该算法数值精度高,计算量小,对于长时间演化问题很有效.2.运用四次B样条Galerkin有限元方法求解了Kuramoto-Sivashinsky方程数值解.数值实验表明数值精度高,且该数值格式适应性强.3.运用余弦微分求积法求解改进的Boussinesq方程,数值结果表明用这种方法求得的数值解精度高,且使用的节点少,计算量小,时间复杂性好.4.分别利用三次B样条Galerkin有限元方法、修正Bernstein多项式Galerkin法和微分求积法求解了耦合Burgers方程组.数值结果表明,三次B样条Galerkin有限元法的数值精度高,适应性强,但是原理复杂,编制程序也困难,计算量大,耗时长.而修正Bernstein多项式Galerkin法和微分求积法的原理简单,程序编制容易,计算量小,效率高,但是适应性差,对初值条件依赖性强.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 计算物理学的发展简史
• 1.2 计算物理学中常见的数值方法
• 1.3 B 样条有限元法
• 1.4 微分求积法
• 1.5 本论文的结构安排
• 第二章 预备知识
• 2.1 有限元方法基础
• 2.2 B 样条函数简介
• 2.3 Bernstein 多项式简介
• 2.4 微分求积法
• 第三章 用修正Bernstein 多项式Galerkin 法求KdV-Burgers 方程数值解
• 3.1 修正Bernstein 多项式
• 3.2 KdVB 方程及数值格式
• 3.3 数值结果
• 3.4 结论
• 第四章 用修正Bernstein 多项式Galerkin 法求Burgers 方程数值解
• 4.1 Burgers 方程
• 4.2 数值格式
• 4.3 数值结果及讨论
• 4.4. 结论
• 第五章 四次B 样条Galerkin 有限元方法数值求解Kuramoto-Sivashinsky 方程
• 5.1 Kuramoto-Sivashinsky（K-S）方程
• 5.2 数值格式
• 5.3 数值算例
• 5.4 数值结果及讨论
• 5.5 结论
• 第六章 用余弦微分求积法求解改进的Boussinesq 方程数值解
• 6.1 改进的Boussinesq 方程（简称IBE）
• 6.2 数值格式
• 6.3 数值算例
• 6.4 数值结果及讨论
• 6.5 结论
• 第七章 三种方法求解耦合Burgers 方程组数值解
• 7.1 耦合Burgers 方程组
• 7.2 数值方法
• 7.3 数值算例及结果讨论
• 7.4 结论
• 第八章 结论与展望
• 参考文献
• 附录 攻读硕士学位期间已发表和完成的主要论文
• 致谢