水平集方法在连续体结构拓扑优化问题中的运用和发展

论文摘要

结构拓扑优化是结构优化技术中最具挑战性的领域之一,它可以同时优化设计对象的拓扑和尺寸,是一种具有创造性的设计方法,在航空航天、工程建设等领域具有重要价值。本文在参考国内外大量文献的基础上,深入研究连续体结构拓扑优化的水平集方法,通过算例证明传统水平集方法的局限,进一步将拓扑导数理论和水平集方法结合起来,提出一个改进的水平集方法,弥补了传统水平集方法的不足之处。本文的主要工作如下:首先建立了基于柔度最小的连续体结构拓扑优化问题的一般数学模型。介绍几种常用拓扑优化方法,主要包括:均匀法、密度惩罚法、遗传算法、模拟退火算法等,并分析它们各自的特点。其次利用水平集方法将一般拓扑优化问题描述为一组水平集函数的约束泛函极小化问题,应用敏度分析,给出了此泛函极小化数值迭代求解公式,即水平集演化方程。这样就把材料界面表示为一组高维函数的水平集,使拓扑优化问题转化为材料界面追踪问题,这时材料界面的形状敏度就是水平集的运动速度。在优化过程中,依靠水平集演化方程不断地融合和移动内部的孔,来改变结构中材料界面的拓扑和形状,获得最优解。通过敏度分析确定演化需要的速度场,使结构边界的拓扑变化能得到简单、自然地处理。最后利用MATLAB给出算例,证明经典的水平集方法是一种有效的拓扑优化方法。再次通过大量算例证明传统水平集方法有其局限性,即过于依赖初始拓扑,只能进行孔的移动和融合,而不能生成新的孔。如果初试拓扑无孔或孔的布局不合理,则不能有效地得到最优解。最后考察拓扑导数的定义及其应用,提出一种基于拓扑导数的改进水平集方法,利用拓扑导数在结构的内部生成需要的孔,再运用水平集方法移动和融合新生成的孔,克服了传统水平集的缺点并保留其优点,运用新方法计算经典的算例,证明新方法是有效的。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 连续体结构拓扑优化问题及传统求解方法
• 1.2.1 简单拓扑学知识
• 1.2.2 连续体结构拓扑优化数学模型
• 1.2.3 几种拓扑优化方法介绍
• 1.2.4 水平集方法的起源及发展
• 1.3 本文的主要工作
• 第二章 水平集方法运用于结构拓扑优化
• 2.1 水平集方法介绍
• 2.1.1 用水平集方法描述材料运动界面
• 2.1.2 符号距离函数
• 2.2 连续体结构拓扑优化的水平集算法
• 2.2.1 用水平集描述连续体结构拓扑优化
• 2.2.2 敏度分析和确定水平集速度场
• 2.2.3 连续体拓扑优化水平集算法
• 2.2.4 算例
• 2.3 小结
• 第三章 经典水平集拓扑优化方法的优缺点分析
• 3.1 水平集方法的优点
• 3.2 经典水平集方法的局限性及证明
• 3.2.1 经典水平集方法的缺陷
• 3.2.2 对不同初始拓扑算例的优化结果的比较
• 3.3 小结
• 第四章 拓扑导数理论与改进水平集方法
• 4.1 拓扑导数理论
• 4.2 拓扑导数的计算
• 4.3 拓扑导数算法与水平集方法的结合
• 4.4 拓扑导数和水平集优化算法
• 4.5 拓扑导数水平集方法算例
• 4.6 小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读学位期间取得的研究成果
• 致谢