血流动力学数值计算与模拟

论文摘要

动脉粥样硬化等血管疾病成为现代社会人类健康最主要威胁。研究动脉血流运动是血流动力学主要任务之一,这对人们更好理解并分析血管疾病的发生与发展十分重要。已有研究发现,局部血流动力学特性的改变和血管复杂流场与血管病变之间关系十分密切。血管病变常常发生在分叉、弯曲等具有特殊几何形状的位置附近。血液是由多种血细胞和血浆组成的悬浮液,其流变性质为非牛顿流体。另外,血管壁具有弹性,动脉血流在心脏搏动影响下,呈现明显脉动流特点。这些特征使得动脉血流过程是一个复杂的瞬态流-固耦合系统。因此,要深入研究血流过程,单纯的理论或实验方法都会有较大局限性。随着计算流体动力学的不断发展和成熟,基于流体计算的数值模拟技术与CAD技术或三维数字成像技术相结合,成为当前研究复杂血流过程的主要手段。要进行数值模拟,数值求解不可压牛顿或非牛顿流体流动是中心问题之一。不可压牛顿流体流动控制方程是不可压Naiver-Stokes方程。与之相比,不可压非牛顿流动控制方程只是动量方程中的扩散项替换为粘性应力项。从数值计算角度看,粘性应力项的出现并不会对数值离散构成本质困难,因此问题归结为对不可压Naiver-Stokes方程数值计算的研究。SIMPLE方法和投影方法是应用最多的两种不可压流动算法。由于动脉血流脉动性的特点,更适合稳态流动计算的SIMPLE方法没有投影方法更有效率。在与有限体积或有限元方法结合求解血流动力学问题时,投影方法更有优势。另外,（病变）血管复杂几何要求数值求解方法应建立在具有良好区域适应性的无结构网格上,有限体积和有限元成为两种主要选择。在数值求解不可压Naiver-Stokes方程时,若用有限体积离散动量方法,可以自然地应用更多优良无振荡对流项数值离散格式,这是其优点。若用Galerkin有限元方法离散动量方程,则数值解有可能出现数值振荡,这需要结合流线扩散有限元方法（SUPG）、最小二乘有限元（GLS）等方法来克服,但如此会使得数值实现过程变得更加复杂。离散动量方程时,有限体积方法是更好的选择。然而,无结构网格有限体积投影方法在离散压力Piosson方程时,仍然是使用有限体积方法,这并不是其优势所在,而恰恰是有限元方法的长处。发展一种结合两种方法优势的不可压流动数值方法,并将其推广到血流动力学计算方面,具有现实意义。另外,在离散动量方程对流项时,使用无振荡高阶格式会避免数值解非物理振荡产生。在各种无振荡格式中,NVF高分辨率格式基于三节点模板来重构对流项界面速度,构造思想明确易行,很适合推广实施于无结构网格。本文在前人研究的基础上,给出一种NVF格式的λ实施方案,在此方案下,NVF格式具有形式一致性,易于分析与代码实现。我们定义了新的无结构网格下正规变量形式,使得NVF格式无结构网格上的计算更具效率。第一章简要总结血流动力学所研究的基本问题,对血流动力学数值计算方法,主要是不可压牛顿/非牛顿流动的数值计算进行了回顾。第二章给出血流动力学中牛顿和非牛顿流动的控制方程,包括连续方程、动量方程和能量方程,列出常见的非牛顿流体的本构方程和控制方程相应的初始和边界条件。第三章介绍对流扩散方程NVF格式及构造NVF高分辨率格式的CBC准则。提出一种NVF格式的λ型实施方案;定义一种无结构网格下正规变量定义新形式,并给出无结构网格下NVF格式的实现方案。第四章首先回顾了不可压流动计算中各种速度压力耦合算法。详细总结了各种投影方法,并将旋度型压力增量投影方法推广至不可压非牛顿流计算。详细讨论了无结构网格下有限体积方法控制元构成方式及相应变量配置方式。在此基础上,提出一种无结构网格顶点型有限体积有限元投影方法。利用本方法数值计算了腔体流动、平板间流动和后台阶流动（包括牛顿和非牛顿流体流动,稳态流动和脉动流动）等典型验证算例。第五章利用无结构投影方法,对二维血流动力学典型模型,如（多重）狭窄、分叉等,进行数值计算。根据数值结果分析了与心血管疾病紧密相关血流动力学因素,如壁面剪切应力,压力降等。第六章总结本文主要内容,展望血流动力学数值计算和模拟的发展,并提出进一步要解决的一些问题。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 目录
• 第1章 绪论
• 1.1 研究背景与现状
• 1.2 本文主要工作
• 第2章 血流动力学的模型
• 2.1 数学模型
• 2.1.1 牛顿流
• 2.1.2 非牛顿流
• 2.1.3 初始和边界条件
• 2.1.4 能量方程
• 2.2 本章小结
• 第3章 对流扩散方程NVF格式
• 3.1 对流扩散方程的数值方法
• 3.2 CBC准则与NVF格式
• 3.3 NVF格式一致λ型方案
• 3.4 无结构网格λ-NVF格式
• 3.5 本章小结
• 第4章 不可压流动数值方法
• 4.1 不可压流动的数值计算
• 4.1.1 不可压流动数值方法
• 4.1.2 投影方法
• 4.1.3 不可压非牛顿流投影方法
• 4.2 非交错无结构网格FVM/FEM投影方法
• 4.2.1 网格类型
• 4.2.2 变量配置方式
• 4.2.3 时间离散
• 4.2.4 动量方程空间离散
• 4.2.5 压力Poisson方程离散
• 4.3 非牛顿流动量方程离散
• 4.4 数值算例
• 4.4.1 准确解算例
• 4.4.2 剪切驱动流
• 4.4.3 后台阶流动
• 4.4.4 二维平板间流动
• 4.5 本章小结
• 第5章 血流动力学模型数值计算与模拟分析
• 5.1 狭窄流动
• 5.1.1 单一狭窄模型
• 5.1.2 多重狭窄模型
• 5.2 分岔流动
• 5.3 本章小结
• 第6章 总结
• 参考文献
• 附录
• 致谢
• 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果