几何动理学理论和模拟方法

论文摘要

物理问题的本质是几何问题。客观物理规律应该采用无关于具体坐标系的“几何”语言来表述。对一个物理系统的模拟应该是对其时空中几何结构的再现,只有当模拟算法的离散结构与物理系统的几何结构相符合的时候,才能正确而有效地再现物理系统演化规律。本文在归纳、总结磁化等离子体几何动理学基本理论框架的基础上,给出了将其转换成数值模拟算法的一般化途径;并通过模拟验证了几何动理学方法与传统经典动理学理论的一致性。几何动理学理论以微分几何的语言来描述等离子体动理学体系。等离子体中宏观电磁场对粒子的作用体现为Poincaré-Cartan-Einstein 1-形式,沿着粒子世界线对Poincaré-Cartan-Einstein 1-形式积分可以得到电磁场中带电粒子的作用量。粒子相空间宏观分布函数描述的是在粒子世界线的相空间宏观分布状态,沿着世界线分布函数是个常数。将空间中带电粒子的作用量与电磁场的作用量相加得到得到整个Vlasov-Maxwell体系的作用量。由最小作用原理,可以通过变分法给出粒子运动的Hamilton方程和描述电磁场演化的Maxwell方程。进一步,借助Lie坐标变换方法,通过引入规范场S分解粒子轨迹扰动的多时空尺度结构。在几何动理学理论的基础上,本文给出了几何动理学模拟的一般性算法。分布函数从相空间到构型空间的纤维积分,和电磁场从构型空间到相空间的拉回变换,都可以表示成包含Dirac-δ函数的全空间积分表述形式。以便于解析的形状函数替代Dirac-δ函数,积分表述形式可以通过Monte-Calor积分法转换为离散求和。本质上,数值模拟中的插值、差分和速度积分都可以解释为对函数积分表述形式的离散。由于粒子只通过电流密度场作用于电磁场,动理学粒子模拟应该建立在对速度积分的离散,而不是对相空间函数的离散上。根据Maxwell方程,电磁场的演化是个局域过程,这种局域性意味着算法的可并行性。有限差分时域方法（FDTD）将Maxwell方程写为关于时间的偏微分方程,通过迭代方法推演电磁场的演化。根据电磁场势函数A的几何含义,沿着采样网格点之间的连线上对其采样,并由此构建电磁场的时空差分网格。Maxwell方程中的Ampere定律可以分解为两个分别关于电场E和电磁矢量势的A一阶时间偏微分方程,标量势?的时间演化由具体选用的电磁规范条件确定。冷等离子体中电流密度场对电磁场的响应可以写为时空偏微分方程,也就是Ohm定律的形式。本文给出了Maxell方程和Ohm定律的有限时间差分格式,并以规范无关的形式给出了Ampere定律在PML区域中的计算格式。回旋中心规范（G-Gauge）动理学是几何动理学在磁约束等离子体中的实现。由于G-Gauge动理学理论引入了Lie扰动,其速度积分的扰动部分同时包含相空间分布函数F和G-Gauge函数S两个相空间函数。对相空间函数的采样以Kruskal环为基本单元,采样点在环上均匀分布,每个环具有一组相空间坐标,一组关于F和F偏导数的采样值,以及多个S采样值。利用分步积分法,使速度积分中只保留S,消去所有关于S的偏导数。这样每个采样点只需要推进一个变量S,使G-Gauge算法具有比直接粒子模拟算法更小的计算量。本文针对均匀磁化等离子体中,垂直于磁场传播的射频波进行了模拟,完整再现了均匀等离子体中X波和电子Bernstein波的色散曲线,并再现了非均匀等离子体中X波到电子Bernstein波的模转换过程,特别给出了X-B模接近完全转换的模拟结果。G-Gauge算法首次从第一性原则出发,实现了针对磁约束等离子体中射频波与粒子相互作用的物理模拟。本文所阐述的几何动理学理论和模拟方法本质上是对等离子体动理学体系几何结构的描述和再现,是以现代几何观点来重新审视经典动理学。几何动理学理论对等离子体体系的描述是完整且多时空尺度的,它将复杂的等离子体动理学系统分解为几个相对简单的子系统,在不损失物理信息的条件下,降低了问题的复杂度。相对于经典动理学方法,几何动理学能够更加深入地揭示约束等离子体的几何结构,帮助我们理解其中的复杂动理学现象。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 等离子体的复杂结构
• 1.2 等离子体理论模型
• 1.2.1 流体模型
• 1.2.2 线性化Vlasov方程
• 1.2.3 回旋动理学
• 1.2.4 不同模型的比较
• 1.3 等离子体模拟
• 1.4 磁约束聚变等离子体中的射频波
• 1.5 研究方法和思路
• 1.5.1 几何动理学理论
• 1.5.2 几何动理学模拟
• 1.6 组织结构
• 2 预备几何知识
• 2.1 引言
• 2.2 流形
• 2.2.1 拓扑空间
• 2.2.2 线性空间上的光滑映射
• 2.2.3 微分流形
• 2.2.4 流形上的光滑映射
• 2.2.5 流形上的曲线和函数
• 2.2.6 矢量、余矢量和张量
• 2.2.7 度量张量
• 2.2.8 流形之间的映射诱导出的映射
• 2.3 Lie导数
• 2.3.1 矢量场和局域流
• 2.3.2 Lie变换和Lie导数
• 2.3.3 Lie导数的性质
• 2.3.4 Lie变换的指数形式
• 2.4 p-形式及其运算
• 2.4.1 p-形式
• 2.4.2 外积
• 2.4.3 内积
• 2.4.4 坐标系的方向
• 2.4.5 度量体积元
• 2.4.6 Hodge-*算符
• 2.5 微分形式
• 2.5.1 微分形式
• 2.5.2 外导数
• 2.6 微分形式的积分
• 2.6.1 单纯形
• 2.6.2 流形上微分形式的积分
• 2.6.3 Stokes公式
• 3 几何动理学理论
• 3.1 引言
• 3.2 Vlasov-Maxwell体系
• 3.3 变分原则
• 3.3.1 单粒子轨迹
• 3.3.2 相空间分布函数
• 3.3.3 Vlasov-Maxwell体系变分原则
• 3.4 Lie变换扰动方法
• 3.4.1 扰动变换
• 3.4.2 速度积分
• 3.4.3 动理学的扰动问题
• 3.5 小结
• 4 几何动理学模拟
• 4.1 引言
• 4.2 积分表述形式
• 4.2.1 插值和纤维积分的积分表述形式
• 4.2.2 差分的积分表述形式
• 4.2.3 核近似
• 4.2.4 Monte-Carlo积分
• 4.3 分布函数的演化
• 4.3.1 沿世界线的运动积分
• 4.3.2 世界线上函数值的演化
• 4.4 小结
• 5 电磁场和电磁流体模拟
• 5.1 引言
• 5.2 有限差分时域方法
• 5.2.1 有限差分方法
• 5.2.2 电磁场的离散格式
• 5.2.3 Maxwell方程的离散格式
• 5.2.3.1 Coulomb规范
• 5.2.3.2 Lorentz规范
• 5.2.3.3 Temperoal规范
• 5.3 PML吸收边界条件
• 5.4 Ohm定律
• 5.5 小结
• 6 回旋中心规范动理学理论和算法 及其在射频波物理模拟中的应用
• 6.1 引言
• 6.2 对称性和Kruskal环
• 6.3 回旋中心坐标系
• 6.3.1 慢变场和快变场
• 6.3.2 回旋中心坐标系
• 6.3.3 Poincaré-Cartan-Einstein 1-形式
• 6.3.4 坐标扰动
• 6.3.5 回旋中心的轨迹
• 6.4 速度积分
• 6.4.1 未扰动坐标系下的速度积分
• 6.4.2 相空间分布函数和扰动
• 6.5 G-Gauge算法
• 6.5.1 Kruskal环采样
• 6.5.2 Klimontovich表述的困难
• 6.5.3 速度积分
• 6.6 磁化等离子体中射频波的粒子模拟
• 6.6.1 均匀等离子体
• 6.6.1.1 X波
• 6.6.1.2 EBW波
• 6.6.1.3 X波到EBW波的转换
• 6.6.2 非均匀等离子体
• 6.7 小结
• 7 结束语
• 7.1 基本观点和主要工作
• 7.1.1 几何动理学理论和模拟算法
• 7.1.2 电磁场和电磁流体模拟
• 7.1.3 G-Gauge动理学理论和模拟算法
• 7.2 结论和展望
• 符号表
• 索引
• 参考文献
• 致谢
• 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果