论文摘要
本文主要研究数据处理中两类常见的矩阵最优化问题的数值分析.在应用科学中,许多问题都可以归于回归分析这一框架下.通常回归都是最优化问题.多元回归方法基本上都是具约束的最小二乘问题.典型相关分析及相关的发展都具某种正交性约束的极值问题.第一章介绍典型相关分析及其推广,偏最小二乘问题与平行因子分析的进展情况.并对本文的主要内容作总的叙述.第二章研究矩阵分解的扰动分析.线性方程组、特征值问题、线性最小二乘、矩阵分解是数据分析的基本工具.在求解线性方程组,特征值问题以及线性最小二乘问题中,矩阵分解具有重要作用.为了判断计算解的好坏,就要研究向后误差和条件数.前者刻画了算法的稳定性,后者则反映了关于数据扰动的敏感性.按照Higham的观点,在一阶近似下,有已有许多学者研究了矩阵分解的范数型和分量型条件数. Gohberg定义了混合型与分量型条件数.本章利用一新的统一方法（即适当选择两个Kronecker乘积矩阵的列排成新的矩阵）,分别得到了LU, Cholesky, LDLT和QR分解的一阶范数型和分量型扰动界.定义了矩阵分解的混合型和分量型条件数,并给出了两种条件数的显式表达式,改进了已有结果.第三章研究偏最小二乘及相关方法. PLS有广泛应用背景.可以很好的消除自变量共线性影响. PLS与Lanczos双对角化具有等价性,从而PLS方法具有不稳定性.本章首先给出一些新的性质,并利用矩阵分解给出了稳定的算法,同时研究了数据修正时的updating问题与downdating问题.第四章研究广义极分解的数值分析,数据处理中常常要研究两组变量的相关分析,极分解与广义极分解是基本工具.本章包括两部分.第一部分研究极分解和广义极分解.孙和陈提出的Frobenius范数下的逼近定理被推广至任何酉不变范数情形.得到了次酉极因子的一个新的表达式.通过新的表达式,我们得到了次酉极因子在任何酉不变范数下的扰动界.最后,讨论了数值计算方法.第二部分继续研究Laszkiewicz和Zietak最近引入的最佳次酉逼近矩阵.首先给出最佳次酉逼近矩阵的几条基本性质,然后给出次酉极因子的扰动界.第五章,给出了平行因子分析在化学计量学中的应用,研究了DNA结合行为.平行因子分析是研究DNA配合物的反应情况的有效方法.利用平行因子分析,可以直接求得DNA配合物达到平衡状态时EB-DNA和EB的荧光光谱与浓度.
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