边界元法求解二维弹性体应力、位移问题

论文摘要

板在实际工程中有着广泛的应用，但由于材料的特性及板的边界条件及板上开洞等特点，当板作为主要的承载构件，为保证其安全使用，有必要深入了解板的真正受力状态，在分析板的受力状态问题中边界单元法和诸多方法相比有其较为突出的特点。论文首先对研究课题的相关专题的发展和研究现状进行了比较全面的回顾和总结。介绍了边界单元法基本思想和理论，弹性力学的基本理论，以及利用边界单元法求边界积分方程数值解的方法。以Matlab软件为平台，编制了相应的计算程序，可以较快的求解高阶矩阵。为了验证推导的方程及程序编制的正确性，将计算数据分别和理论解及Abaqus软件下的有限元解进行了对比，得到了比较为满意的结果。从目前看来，对于实际工程中存在的大量物性不均匀、几何形状不规则、边界条件和初始条件较复杂的问题。用解析解法求解是比较困难的，这就需要研究它的数值解法，以求出近似解。在现有的解偏微分方程定解问题的数值计算方法中，有限单元法是工程中应用最广泛最有效的方法之一。但是，有限元法也有它的不足之处，影响了有限单元法的计算精度和实际应用范围。近年来，新发展起来的一种解偏微分方程定解问题的数值计算方法—边界单元法，正好弥补了有限单元法的不足之处。本文详细介绍了边界单元法的基本理论和数值解法。并用数值算例，验证了边界元法可以较好的求解平板内部任意点应力、位移问题。尤其对现有不规则的楼板的分析较为适宜，对于开洞的楼板会再洞口边产生应力集中问题，也进行了边界单元法的分析和求解，同时与解析解进行对比，得出关键点的修正系数，最后拟合出修正系数有关的曲线，将按弹性解析解（基本假定）乘以修正系数，即可得到比较满意的结果。为完善实际工程中对于楼板简化设计的不足之处，进一步提出了调整钢筋的布置和用量有关设计建议。

论文目录

• 目录
• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 概述
• 1.2 研究现状
• 1.2.1 边界单元法的研究现状
• 1.2.2 弹性力学的发展简史
• 1.3 本文主要内容和工作
• 第二章 边界单元法的基本理论
• 2.1 边界单元法的概念
• 2.1.1 边界单元法与有限元法的对比
• 2.1.2 边界单元间接法与直接法
• 2.2 弹性力学基本理论
• 2.2.1 弹性力学的基本假设
• 2.2.2 弹性力学的平面问题
• 2.3 基本解
• 2.3.1 基本解的定义
• 2.3.2 基本解的求法
• 2.3.3 弹性力学问题的基本解
• 2.4 本章小结
• 第三章 弹性力学问题边界积分方程解法
• 3.1 弹性力学问题的数学描述
• 3.1.1 弹性力学中的几个基本概念
• 3.1.2 二维应力状态与平面问题平衡微分方程
• 3.1.3 几何方程
• 3.1.4 物理方程
• 3.1.5 边界条件
• 3.2 开尔文问题
• 3.3 应力及面力
• 3.4 Somigliana 公式
• 3.4.1 Betti 互换定理
• 3.4.2 Somigliana 位移公式
• 3.4.3 Somigliana 应力公式
• 3.5 边界积分方程直接法
• 3.5.1 矢量位
• 3.5.2 边界积分方程的建立
• 3.6 本章小结
• 第四章 数值方法
• 4.1 边界单元和单元插值函数
• 4.1.1 二维问题
• 4.1.2 三维问题
• 4.2 边界单元直接法
• 4.2.1 线性代数方程组的建立
• 4.2.2 内部任意点处位移和应力的计算
• 4.3 本章小结
• 第五章 边界元法求解受拉矩形板的位移和应力
• 5.1 BEM 计算程序简介
• 5.2 数值算例
• 5.2.1 受拉矩形板的位移和应力计算
• 5.3 本章小结
• 第六章 边界单元法处理平板开孔应力集中问题
• 6.1 平板开小圆孔问题的数值分析
• 6.2 应力修正系数
• 6.3 平板开矩形孔问题的数值分析
• 6.4 数值分析结果
• 6.5 本章小结
• 结论与展望
• 结论
• 展望
• 参考文献
• 致谢
• 附录 攻读学位期间所发表的学术论文目录