论文摘要
三次自催化反应和高次自催化反应是两类重要的生物化学数学模型．自催化反应模型是斑图动力学研究的核心内容，它在DNA复制过程、化学振荡、化学波和斑图的研究中有着非常重要的作用．本文基于上述化学模型的研究现状，主要运用线性分析和非线性偏微分方程的工具（特别是反应扩散方程的理论和方法）深入系统地研究了这两类系统中不同类型模型的动力学行为，包括平衡态解的稳定性、分歧解、斑图．所涉及的数学理论包括：线性理论、弱非线性分析、弗来得霍姆定理等．主要工作如下：研究了一类发生在有界容器内的不可激活的高次自催化反应扩散系统．在适当的条件下，用渐近近似的方法讨论了系统平衡态的稳定范围；用多重尺度的方法证明了当扩散系数λ充分小时，系统出现两种类型的斑图，一类是由Hopf分歧引出的驻波斑图，另一类是由Pitchfork分歧引出的定波斑图．进一步还证明了在分歧点附近，对于大于空间或等于空间波数的小扰动，斑图是局部稳定的，而小于自身空间波数的小扰动，斑图是不稳定的．研究了一类发生在有界容器内且扩散系数不同的高次自催化反应扩散系统．在适当的条件下，用渐近近似的方法讨论了系统平衡态的稳定范围，并且证明由稳定态产生的分歧为稳定空间非一致解的必要条件是参数D（=（λb）/（λa））<（（?）-1）2/（n-1）（其中λa，λb分别是化学物质A和B的扩散系数）．进一步用弱非线性理论分析了接近分歧点的空间非一致斑图解的性质．研究了一类由于自催化剂的耦合而产生的反应扩散系统的空间结构．利用线性化理论讨论了平衡态解的稳定性，证明了在非耦合系统中空间非一致解出现分歧的必要条件是0<δ<（（?）-1）2/（n-1），此时0<β<（n-1）/2．进一步，利用弱非线性理论讨论了分歧点，并且给出了弱耦合系统的图灵分歧解的振幅方程及其性质．研究了一类由于反应物的耦合而产生的高次自催化反应的反应扩散系统．利用线性化理论给出了两类平衡态解的稳定性条件．通过研究线性化方程给出两类平衡态分别在耦合与非耦合系统中出现空间非一致斑图态分歧的可能性．进一步，利用弱非线性理论给出了分歧点处图灵解的性质，并说明在耦合中出现的分歧解将不会出现在非耦合系统中．最后，在耦合系统中对于0<α<<1和α>>1的情形，给出了分歧分支振幅方程的平衡点的稳定性．研究了基于三次自催化反应A+2B→3B，B→C的二维图灵斑图．由线性化理论给出了平衡态（a，b）=（1/μ，μ）的稳定性（其中a和b分别是反应物A和自催化剂B的浓度，μ是初始先引物P的浓度）．进一步，利用弱非线性理论给出了出现菱形排列和六边形排列的二维空间斑图的条件．最后，给出了Landau常数和振幅方程的平衡点的稳定性条件．