约束力学系统积分理论若干问题的研究

论文摘要

本文围绕约束力学系统的积分理论这一主题,较系统地研究了相对运动动力学系统的代数结构和经典积分理论、约束动力学系统的Lie对称性与守恒量及其逆问题、动力学系统的离散变分原理、离散Noether对称性和第一积分、离散Lie对称性等三个方面问题。第一章,绪论:简要介绍约束动力学系统积分理论有关研究的进展,包括非Noether守恒量理论、约束力学系统相对运动动力学及其积分理论、以及离散力学系统对称性与守恒量理论的研究历史与现状。第二章,介绍变换Lie群和无限小变换的概念,重点介绍了单参数变换Lie群、点变换与扩展变换,给出本文的数学基础。第三章,通过引入了惯性力的广义势的概念,建立了相对运动动力学系统的第二类Lagrange方程、广义Hamilton正则方程和运动方程的其他形式,给出了相对运动动力学系统的能量积分方法和机械能守恒定律;建立了一阶非线性非完整系统相对运动新型的Routh方程,给出了一般非完整非保守相对运动动力学方程及其逆变代数形式,并研究其代数结构,指出该系统不仅有相容代数结构而且有Lie容许代数结构,从而可以将积分完整保守动力系统的Poisson积分方法部分地应用于非完整非保守相对运动动力学系统。第四章,首次提出动力学系统Lie对称性逆问题命题,并且给出Lagrange系统Lie对称性逆问题的一个解法,并进一步研究了准坐标下非完整力学系统的Lie对称性与守恒量及其逆问题的解法;首次在相空间研究约束力学系统的Lie对称性与守恒量,给出了正则形式的Lie对称性质;将研究动力学系统的Lie对称性理论推广至连续介质情形,给出经典场的Lie对称性理论;最后研究了约束哈密顿系统的Lie对称性与守恒量,把系统由于奇异性而存在的限制方程看作是约束方程,建立了正则形式的动力学方程,并讨论其对称性质。第五章,约束力学系统的离散对称性理论:对约束动力学系统分别给出其离散变分原理及离散运动方程,并且进一步研究了约束动力学系统的离散Noether对称性和离散第一积分;首次研究了非保守系统离散Lie对称性,将离散对称性理论的研究引向深入。第六章,总结与展望:总结本文所得到的主要结果以及未来研究的一些设想。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 非Noether守恒量理论研究的历史和现状
• 1.3 约束力学系统相对运动动力学研究的历史和现状
• 1.4 离散力学系统对称性与守恒量理论研究的历史和现状
• 1.5 本文研究内容的概述
• 第二章 变换Lie群和无限小变换
• 2.1 变换Lie群
• 2.1.1 群的定义
• 2.1.2 群的例子
• 2.1.3 变换群
• 2.1.4 变换的单参数Lie群
• 2.1.5 变换单参数Lie群的例子
• 2.2 无限小变换
• 2.2.1 Lie的第一基本定理
• 2.2.2 Lie的第一基本定理的例子
• 2.2.3 无限小生成元
• 2.2.4 不变量函数
• 2.3 点变换和扩展变换
• 2.3.1 点变换的扩展群:一个独立变量和一个依赖变量
• 2.3.2 扩展的无限小变换
• 第三章 相对运动动力学及其代数结构
• 3.1 代数基本概念
• 3.2 相对运动动力系统的Lagrange方程和Hamilton正则方程
• 3.2.1 相对运动第二类Lagrange方程
• 3.2.2 惯性力的广义势
• 3.2.3 相对运动Lagrange方程的其他形式
• 3.2.4 相对运动的Hamilton正则方程
• 3.2.5 相对运动的能量积分
• 3.2.6 相对运动机械能守恒定律
• 3.2.7 结论
• 3.3 一阶非线性非完整系统相对运动Routh方程
• 3.3.1 一阶非线性非完整系统相对运动Routh方程的基本形式
• 3.3.2 新型的一阶非线性非完整系统相对运动Routh方程
• 3.3.3 解题示例
• 3.3.4 结论
• 3.4 非完整非保守相对运动动力学系统的代数结构及其Poisson理论
• 3.4.1 非完整非保守系统相对运动系统的动力学方程及其逆变代数形式
• 3.4.2 非完整非保守相对运动系统的代数结构及其Poisson理论
• 3.4.3 算例
• 3.4.4 结论
• 3.5 小结
• 第四章 约束力学系统的Lie对称性理论
• 4.0 引言
• 4.1 Lagrange系统的Lie对称性定理及其逆定理
• 4.1.1 Lagrange系统的运动微分方程
• 4.1.2 Lagrange系统的Lie对称变换
• 4.1.3 Lagrange系统的Lie对称性定理
• 4.1.4 Lagrange系统的Lie对称性逆定理
• 4.1.5 算例
• 4.1.6 结论
• 4.2 非完整非保守力学系统在相空间的Lie对称性与守恒量
• 4.2.1 系统的运动微分方程
• 4.2.2 系统的Lie对称性及其确定方程
• 4.2.3 系统的结构方程与守恒量
• 4.2.4 算例
• 4.2.5 结论
• 4.3 准坐标下非完整力学系统的Lie对称性与守恒量
• 4.3.1 系统的运动微分方程
• 4.3.2 Lie对称性正问题
• 4.3.3 Lie对称性逆问题
• 4.3.4 算例
• 4.3.5 结论
• 4.4 经典场的Lie对称性与守恒量
• 4.4.1 经典场的Lie对称变换
• 4.4.2 经典场的守恒律
• 4.4.3 结论
• 4.5 约束Hamilton系统的Lie对称性与守恒量
• 4.5.1 约束Hamillon系统的动力学方程
• 4.5.2 Lie对称性及其确定方程
• 4.5.3 结构方程和守恒量
• 4.5.4 算例
• 4.5.5 结论
• 4.6 小结
• 第五章 约束力学系统的离散对称性理论
• 5.1 非保守完整系统的离散变分原理和运动方程
• 5.1.1 引言
• 5.1.2 非保守完整系统离散变分原理
• 5.1.3 离散非保守完整系统的动力学方程
• 5.1.4 结论
• 5.2 约束力学系统的离散Noether理论
• 5.2.1 引言
• 5.2.2 Lagrange形式非保守系统离散Noether理论
• 5.2.3 Hamilton形式系统离散Noether理论
• 5.2.4 结论
• 5.3 离散非保守系统的Lie对称性理论
• 5.3.1 离散非保守系统的运动方程
• 5.3.2 离散非保守系统的Lie对称性
• 5.3.3 举例
• 5.3.4 结论
• 5.4 小结
• 第六章 总结与展望
• 6.1 本文得到的主要结果
• 6.2 未来研究的设想
• 参考文献
• 攻读博士期间发表的论文
• 致谢