一些矩阵计算问题及其在图像识别中的应用研究

论文摘要

本文分为两个部分，第一部分主要研究了一类稀疏矩阵—三对角、块三对角和带状矩阵的求逆问题，给出了一些简单实用算法；第二部分基于矩阵计算的理论和方法，研究了图像识别问题。 三对角及带状矩阵是一类重要的稀疏矩阵，在数值分析、图像处理和信号处理等学科领域及工程技术上都有重要的应用。该类矩阵的求逆是研究者们关注的热点问题。三对角矩阵的条件数计算，“部分逆元素”的计算及线性方程组求解等问题都涉及到该类矩阵的逆。 图像处理和识别是一个重要的应用学科方向，涉及很多基础知识。矩阵计算的理论和方法在图像处理和识别中有重要的应用，是一种重要的研究工具。 本论文基于上述两个部分而展开，主要内容为： 1．研究了三对角矩阵的求逆。分别基于三对角矩阵的LU分解和基于用四个列向量表示逆矩阵的两种方法进行了研究，得到两个简单的求逆算法。前者适用于不需任何附加条件的一般三对角矩阵。理论分析表明，在计算复杂度上，提出的算法明显低于经典的求逆算法，也低于最新的一些研究成果；实验表明，在计算时间上，提出的算法约占Nabben最近提出方法的75％～85％左右，约占追赶法的40％～60％左右。 2．研究了块三对角矩阵的求逆。分别基于块三对角矩阵的绞形分解、块LU分解和基于用四个分块的列向量表示块逆矩阵三种方法进行了研究，得到三个简单算法。理论分析，在计算复杂度上，提出的算法的明显低于经典的求逆算法，也低于最新的研究成果；实验表明，在计算时间上，提出的算法约占Meurant最近提出的算法的60％～80％左右，占块矩阵追赶法的30％～50％左右。 3．研究了带状矩阵求逆。在Meurant提出的三对角矩阵的绞形分解基础上，给出了带状矩阵的n个绞形分解，从而给出了一个按列逐次求逆的算法。该算法比经典的LU算法约快两倍。 研究了非奇H(块)矩阵的谱半径，得到一个非奇H(块)矩阵谱半径的上界估计式。其结果简单实用，而且在一定程度上优于Frobenius不等式所给出的谱半径估计式及分块矩阵谱半径估计式的最新结果。 4．研究了基于二阶二维主分量分析(二阶2DPCA)的人脸识别问题。二阶

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 选题背景
• 1.2 三对角及带状矩阵问题的来源及研究现状
• 1.2.1 问题的来源
• 1.2.1.1 在数值分析中的应用
• 1.2.1.2 在图像处理中的应用
• 1.2.2 研究现状
• 1.3 矩阵计算在图像处理中的应用及研究现状
• 1.3.1 人脸识别中的代数特征提取
• 1.3.2 四元数矩阵在彩色图像处理中的应用
• 1.3.3 在图像处理中的其他应用
• 1.4 本文的主要工作
• 第二章 三对角矩阵求逆的算法
• 2.1 引言
• 2.2 基于LU分解的简单算法
• 2.2.1 预备知识
• 2.2.2 三对角矩阵的逆
• 2.2.3 与已有结果的比较
• 2.3 基于向量表示逆阵的算法
• 2.3.1 预备知识
• 2.3.2 三对角矩阵求逆的算法
• 2.3.3 数值实验
• 第三章 块三对角矩阵求逆的算法
• 3.1 引言
• 3.2 基于块绞形分解的算法
• 3.2.1 引理
• 3.2.2 主要结果
• 3.2.3 计算复杂度比较及数值实验
• 3.3 基于块LU分解的算法
• 3.3.1 引理
• 3.3.2 块三对角矩阵的求逆
• 3.3.3 计算复杂度比较及数值实验
• 3.4 基于块向量表示块逆阵的算法
• 3.4.1 引理
• 3.4.2 块三对角矩阵的求逆
• 3.4.3 计算复杂度比较
• 第四章 带状矩阵计算及H矩阵的谱半径估计
• 4.1 带状矩阵的逆
• 4.1.1 带状矩阵的绞形分解
• 4.1.2 求逆的算法
• 4.1.3 计算复杂度分析
• 4.1.4 在三对角矩阵中的应用
• 4.2 五对角Toeplitz线性方程组
• 4.2.1 对称五对角Toeplitz线性方程组
• 4.2.1.1 对称五对角Toeplitz矩阵的分裂
• px=q的求解'>4.2.1.2 线性方程组M_px=q的求解
• 4.2.1.3 对称五对角Toeplitz线性方程组的求解算法
• 4.2.2 计算复杂度分析
• 4.3 非奇H（块）矩阵的谱半径估计
• 4.3.1 引言
• 4.3.2 主要结果
• 4.3.3 数值例子
• 第五章 基于二阶2DPCA的人脸识别研究
• 5.1 特征脸方法及其改进方法的介绍
• 5.1.1 特征脸（eigenface）方法
• 5.1.2 二阶特征脸方法
• 5.1.3 二维主分量分析（2DPCA）
• 5.2 二阶二维主分量分析
• 5.2.1 Sec-PCA和2DPCA方法的缺陷
• 5.2.2 二阶2DPCA
• 5.2.3 基于二阶2DPCA的图像重建
• 5.2.4 实验
• 5.2.4.1 在Yale人脸库B上的实验
• 5.2.4.2 在Harvard人脸库上的实验
• 5.2.4.3 在ORL人脸库上的实验
• 5.2.5 结论
• 第六章 基于四元数矩阵的彩色图像识别
• 6.1 四元数矩阵介绍
• 6.2 彩色图像的奇异值特征提取
• 6.3 彩色图像识别
• 6.3.1 基于最近邻准则的识别
• 6.3.2 基于矩阵似然度的识别
• 6.3.2.1 矩阵的似然度及特征矩阵集
• 6.3.2.2 彩色图像识别及实验结果
• 6.4 基于投影特征向量的图像识别
• 6.4.1 彩色图像信息
• 6.4.2 特征提取
• 6.4.3 图像识别算法
• 6.4.4 实验
• 第七章 结论
• 致谢
• 参考文献
• 作者攻博期间取得的成果