三角形网格上Hamilton-Jacobi方程的数值方法研究

论文摘要

Hamilton-Jacobi（简称H-J）方程在几何光学、计算流体力学、控制系统、计算机图形图像和网格生成等方面有着非常重要的应用.鉴于此,在过去的十年中,有许多关于H-J方程的理论和数值研究.一般来说,H-J方程的解析解是难以求出的,其弱解并不唯一,即使在Hamiltonian H和初始条件u 0连续的情况下,解的导数都可能会出现间断.对于非结构三角形网格上H-J方程的数值求解方法的构造,主要困难在于数值通量的选择和高精度插值多项式的构造.1996年,Abgrall等给出了一个针对H-J方程的数值通量,但格式只有一阶精度.本文在Abgrall等工作的基础上,通过构造三角形网格上的高阶插值多项式,得到了一个求解H-J方程的高阶精度格式.具体思路为:在每个三角形单元上构造插值多项式,在构造插值多项式时,若遇到病态方程组,则采用逐步增加节点,然后结合数值分析里的最小二乘方法,把病态方程组转化为正常的方程组来求解.由于较多地利用了三角形单元周围的点的信息,从而构造出来的插值多项式将比原来更精确.本文最后利用构造出来的数值格式对一些经典的算例进行了数值模拟,分析说明了所构造格式具有较高的精度和较好的分辨率.

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第一章绪论

1.1 引言

1.2 H-J 方程的理论概述

1.2.1 H-J 方程的基本结论

1.2.2 H-J 方程与守恒律方程之间的关系

1.3 网格的理论

1.4 本文的主要内容

第二章 H-J 方程的数值方法发展

2.1 引言

2.2 结构网格上求解H-J 方程的数值方法

2.3 非结构网格上求解H-J 方程的数值方法

2.4 本章小结

第三章三角形网格上H-J 方程的数值求解方法

3.1 引言

3.2 基本公式和定理

3.2.1 空间上的离散

3.2.2 病态方程组的处理

3.2.3 最小二乘的有关背景和理论

3.2.4 构造插值多项式

3.3 时间离散方法

3.4 定解问题中边界条件的处理

3.5 本章小结

第四章数值实验

4.1 引言

4.2 数值算例

4.3 本章小结

第五章总结与展望

参考文献

致谢

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