卢俞帆陈锦辉庄心怡
华北电力大学电气与电子工程学院北京102266
摘要：本文针对高温作业专用服装的设计问题，利用传热学非稳态导热理论，建立了一维非稳态传热数学模型，解决了题目所提出的问题。
针对问题一，我们首先根据经典的非稳态传热理论建立理论模型，然后根据非稳态导热问题的数值解法建立了离散方程组，最后根据题目附件中假人皮肤外侧的测量温度数据以及已知的热参数，基于物理事实进行参数优化，从而确立了描述假人皮肤外侧温度变化的数学模型，模型的均方根误差为0.1。
针对问题二，利用问题一得到的传热数学模型，我们首先研究了温度分布函数与第II层厚度的关系,发现第II层厚度取不同值时，温度分布函数都是连续且单调不减的上凸函数。并且，随着II层厚度的增加，图像越扁平，即温度上升的越缓慢，最终的稳定温度也越低。然后我们利用辅助线段简化了温度约束条件，将第II层的最优厚度的可能取值限制在一个较小的厚度区间。最后利用二分原理进行迭代逼近，最终得到第II层的最优厚度为9.4。
针对问题三，利用问题一得到的传热数学模型，我们首先研究了温度分布函数与第II、IV层厚度的关系，然后我们利用问题二的预估方法和迭代逼近原理，研究了第II层最优厚度与第IV层厚度的关系，得到了一系列数据，运用最小二乘法进行拟合，得到了第II层最优厚度与第IV层厚度的线性函数关系。根据高温作业专用服装的综合评价方法，最终确定了第II层最优厚度为18.3,第IV层最优厚度为6.4。
本文亮点在于采用了设立辅助线段的方法来快速缩小最优厚度的所在范围，减少了二分法的迭代次数，大大缩短了计算时间。
关键词：一维非稳态传热模型；离散方程组；二分算法；迭代算法；辅助线段
一、问题重述
在某些特定高温情况下，专用防热服装成为了帮助人体抵挡高温灼烧的重要工具。专用放热服装一般由I、II、III三层织物材料制成，第III层和皮肤之间还存在空气层作为第IV层。
问题分为以下三个：
对环境温度为75ºC、II层厚度为6、IV层厚度为5、工作时间为90分钟的情形开展实验，测量得到假人皮肤外侧的温度。建立数学模型，计算温度分布，并生成相应的温度分布图。
(1)(2)当环境温度为65ºC、IV层的厚度为5.5时，确定II层的最优厚度，确保工作60分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47ºC，且超过44ºC的时间不超过5分钟。
(3)当环境温度为80℃时，确定II层和IV层的最优厚度，确保工作30分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47ºC，且超过44ºC的时间不超过5分钟。
二、模型假设
（1）由于专用服装、空隙和皮肤沿厚度方向的尺度远小于其他尺度，所以我
们假设温度只沿厚度方向变化，即一维导热。
（2）假定专用服装各层织物、空隙和假人皮肤的热物性为常数。
（3）空隙中的空气视为静空气。
（4）由于题目中环境温度的波动较小，假定环境与专用服装间的对流传热
系数为常数。
（5）假设各层之间接触良好，满足界面连续条件。
三、符号说明
符号说明单位
4.3问题三的模型建立与求解
问题三是一个双变量寻优问题，较问题二多了一个待优化量：第四层厚度。根据假设，我们同样可以用问题一中确定参数的模型来求解。根据高温专用服装的评价指标[2]，我们确定了第IV层的最优厚度，从而得出第II二层的最优厚度。
4.3.1II层最优厚度与IV层厚度关系的确定
在问题二的基础上，我们可以有以下结论：
（1）不同的IV层厚度情况下，温度分布函数都是连续且单调不减的上凸函数。
（2）随着IV层厚度的增加，图像越扁平。
同样，应用与问题二中相同的添加辅助线的方法，我们分别来观察IV层厚度在取最小值，中间值和最大值时，温度分布函数随第II层厚度的变化情况。
图9厚度取最小值时II层温度-时间曲线图10厚度取中间值时II层温度-时间曲线
图11厚度取最大值时II层温度-时间曲线
我们观察到在不同的第IV层厚度情况下，II层最优解的预估范围是一致的，即左端点都在第三(自下而上)条图线和第四条图线之间。因此我们可以将最优解所在范围缩小至：8.73-11.44。
为了得到拟合的原始数据点，同时考虑到IV层厚度的可行域较小(0.6-6.4)以及数值算法的复杂度，我们对IV层厚度的可行域内十个等距点进行试验，结果如下：
图13拟合曲线图像
至此，我们已经得到了II层最优厚度与IV层厚度之间的函数关系。
4.3.2问题求解
由于所有的第IV层可能的取值对应的第II层最优解已经得到，那么只需确定第IV层的最优厚度，即可解决此问。
综合防护服的评价指标，我们最终确定出第II层最优厚度为18.3mm,第IV层最优厚度为6.4mm。
六、参考文献
[1]杨凯.舱外航天服暖体假人的研究及其传热模型的建立[D].东华大学,2008.
[2]李莎莎,李俊.消防服性能测评技术及其综合评价原则[J].服装学报,2017,
2(03):212-217.
[3]杨世铭，陶文铨.传热学第四版[M].北京：高等教育出版社，2006.174
-179.
[4]人体密度，热传导率，比热容数值，https://tw.answers.yahoo.com/question/index?qid=20071005000016KK04910
[5]空气热对流系数，
https://zhidao.baidu.com/question/627794692836132564.html