流形的极小体积

论文摘要

本文的主要工作是给出了Rn（n≥3）极小体积为零的具体证明。在我们的方法中,R3和R4度量的构造是证明的关键。n≥5时,Rn可以看成是若干R3和R4或R2的乘积流形。对于R3我们先讨论了其不同于R2的地方,即不存在旋转对称的曲率有界且体积有限的完备黎曼度量（R3上似乎不存在曲率有界且体积有限的cusp-like的完备度量,见[Bowditch1993]）;接着利用[Cheeger-Gromov1985]中使用的关于R3的拓扑分解构造其上完备的度量。对于R4我们没有沿用[Cheeger-Gromov1985,例1.6]中构造高维空间度量的方法,而是将R4看成R3×R,利用已构造的R3上的度量来达到目的。同时我们也证明了欧氏空间连通和Rn#Rn（n≥2）的极小体积为零。证明中仍需用到度量的光滑粘接。为了对极小体积有一个基本的了解,我们在第零章中还加入了与之联系密切的另两个不变量（Gromov体积（也称单纯形体积（simplicial volume））和极小熵）的介绍。另外还简单介绍了（?）-结构,F-结构和T-结构等概念。附录A是对[Gromov1982,Appendix I]的解释。附录B给出了0.3节中纤维丛上和乐群作用的介绍以及3.3节所需要的主丛上的结构方程。

论文目录

• 中文摘要
• Abstract
• 目录
• 第零章 极小体积
• 0.1 极小体积（Minimal Volume）的定义
• 0.2 极小体积为零的流形的例子
• 0.3 T-结构简述
• 0.4 极小体积与其他拓扑不变量的关系
• 0.4.1 Gromov体积
• 0.4.2 极小熵
• 第一章 带边曲面的光滑粘接
• 1.1 旋转曲面
• 1.2 关于光滑连接
• 1.3 伪球面的一些性质
• 1.4 伪球面,球面与ε-圆柱面的光滑连接
• 1.5 关于乘积流形在乘积度量下的曲率
• n）'>第二章 MinVol（Rⁿ）
• 3上不存在旋转对称的曲率有界且体积有限的完备cusp度量'>2.1 R³上不存在旋转对称的曲率有界且体积有限的完备cusp度量
• 2.1.1 类似问题的考虑
• 3的极小体积'>2.2 R³的极小体积
• n（n≥3）的极小体积'>2.3 Rⁿ（n≥3）的极小体积
• 2n+1)和MinVol（Sⁿ×R）'>第三章 MinVol(S²ⁿ⁺¹)和MinVol（Sⁿ×R）
• 2n+1（n≥1）的极小体积'>3.1 S²ⁿ⁺¹（n≥1）的极小体积
• n×R（n≥1）的极小体积'>3.2 Sⁿ×R（n≥1）的极小体积
• 1丛的曲率计算'>3.3 关于闭可定向流形上主S¹丛的曲率计算
• 2极小体积的计算'>附录A Gromov关于R²极小体积的计算
• 附录B 主丛上的联络理论
• B.1 主丛上的联络
• B.2 平行移动,和乐群和平坦联络
• B.3 主丛上的曲率形式
• 附录C 一些拓扑概念
• 参考文献
• 索引
• 发表文章目录
• 简历
• 致谢