论文摘要
过去几十年中,许多学者的研究重点已经逐渐从连续可积系统转变为离散可积系统,许多可积的晶格方程被提出和讨论,例如,Ablowitz-Ladik lattice, Toda lattice等等。这些可积系统有着深刻背景并发挥着重要作用,而且在数学物理、统计物理学、无序的系统、生物学、经济学、数值分析、离散几何、细胞自动机,量子场理论等等方面都有着广泛应用.众所周知,孤子方程的拟周期解（有限带解或代数几何解）揭示了解的内在结构,同时还描述了非线性现象的拟周期行为和孤子方程的Liouville可积特征.在可积系统的理论中,代数几何方法提供了求拟周期解的有效途径,这些解可以借助黎曼曲面上的θ函数显式给出.本文主要借助于代数几何方法来求解几个与2×2矩阵谱问题相联系的有深刻物理背景的离散孤子方程族,并给出它们的拟周期解.文中详细讨论的与2×2矩阵谱问题相联系的孤子方程族分别是离散mKdV方程族,R-Toda方程族,离散自对偶网络方程族和一族新的微分-差分方程.首先引入Lenard递推方程,由此经零曲率方程构造出了与2×2矩阵谱问题相联系的孤子方程族.然后,借助于驻定方程的Lax矩阵我们确立了椭圆变量和位势之间的直接关系,由此将相应的方程分解成可解的常微分方程组.接着,我们借助Lax矩阵的特征多项式,我们引入了一条算数亏格为N的超椭圆黎曼面KN以及Abel-Jacobi坐标,并由此定义亚纯函数,且拉直了相应方程族的连续流和离散流.最后,利用亚纯函数我们定义了Baker-Akhiezer函数,并构造三类Abel微分.通过分析三类Abel微分,亚纯函数以及Baker-Akhiezer函数的渐近性质,我们得到亚纯函数和Baker-Akhiezer函数的精确Riemann θ函数表示,尤其是整个方程族的位势的显式Riemann θ函数表示.