论文摘要
微分方程的周期解和概周期解体现了系统的规律性变化，历来受到许多学者的重视。与周期现象相比，概周期现象是更容易见到的一种现象。自H．Bohr提出概周期函数理论以来，就被广泛应用在常微分方程、泛函微分方程、脉冲微分方程及偏微分方程等领域，大大地丰富了概周期函数的理论。因此概周期型微分方程的求解或求微分方程的概周期解是一个在理论上有着十分重要意义同时又在实际应用方面有着广阔前景的问题。本学位论文研究三类具有实际应用背景的微分系统：广义Liénard方程、向量Liénard方程和时滞Lotka-Volterra系统。利用不同的研究方法获得了三类系统存在或具有唯一概周期解的充分条件。全文具体安排如下：第一章为绪论，简要介绍了概周期函数的发展概况和三类微分系统的相关背景，以及必要的预备知识。由于Liénard方程在物理、非线性力学、工程技术等领域广泛的应用背景以及内在的复杂的非线性动力学特征，对其解的性态研究一直成为人们关注的焦点之一。因而在第二章中，研究广义Liénard方程，通过构造严格单调递增函数，证明方程有界解的唯一性，最后利用Amerio的结果，获得了方程的解部分变元的最终有界性意味着概周期解的存在性的结论，推广了Cieutat[Nonlinear Analysis，58（2004），885-898]已有的主要结果。在现有的Liénard方程研究中，标量情况的研究已经取得引人注目的成果，相比起来，对于向量Liénard方程要少得多。为此，第三章讨论一类具有概周期强迫项的向量Liénard方程。通过在乘积空间定义内积，选取合适的次变泛函来替代范数推广最小解的概念，利用最小解的方法证明方程的有界解为概周期解，推广了Cieutat[J．Differential Equations，209（2005），302-328]的主要结果。以上两章研究的都是常微分方程，然而事实说明许多事物的变化规律不仅依赖于当时的状态，还依赖于过去的状态，这意味着常微分方程模型不能准确的描述。因此第四章则进一步研究了分布时滞与时间时滞并存的Lotka-Volterra系统。对于Lotka-Volterra系统，通常是通过构造合适的Lyapunov泛函来判断概周期解的存在性，而本章直接运用概周期解的定义得到概周期解的存在性的充分条件。证明在一定条件下，系统存在唯一的概周期解，且是全局稳定的。研究结果可进一步应用于合作系统、竞争系统和混合系统。