中印古代几何学的比较研究

论文摘要

中国、印度两国古代几何的发展与交流,一直是数学史界比较关注的问题,因此,对两国几何学的比较研究是东方数学史研究的基本课题。目前国内关于这方面的工作还较为薄弱,本文就这一问题展开了系统研究,获得了若干新的结果,提出了一些新的看法: 1.回顾了中印两国传统几何学的发展状况和知识水平。依据较多印度古代几何学的英文文献,着重疏理了它的发展脉络,认为它的创立有一定的理论基础,其知识水平与中国基本一致;而且在某些方面甚至可与西方古代几何学相媲美。 2.全面系统地介绍了中印12世纪之前的几何学知识。对勾股定理的起源与应用进行了多方位考察:勾股定理是中印古代几何学的脊梁,占有极为重要的地位,它的广泛应用推动了测量术、勾股数理论与无理数理论的快速发展,使得中国的测量术达到当时世界先进水平,也使无理数在两国受到重视。两个文明古国几何学的发展如此相似,显示了历史、文化、哲学以及地域方面对这种相似性的重要作用和影响。 3.对12世纪前两国几何图形面积和体积的发展进行了多方位比较。首先列举早期文物和历史文献上的相关问题,认为两者发展时间不相上下,发展水平基本相当,但中国的某些内容曾流传到印度,其方式应为口头传播;其次对两国历史上球面积和体积的计算进行了比较,展示了两国学者在球的性质问题上表现出的不同思维模式;最后对两国几何的构造性进行比较,发现两者均基于几个类同的定理而发展起来,都属于构造性体系,非常相似。 4.对印度三角学与中国勾股形的边边关系进行比较,介绍了前者传入中国的有关情况。 5.重点释读并分析了印度几何学的有关内容,澄清了一些印度学者认为中国数学不曾流传到印度的看法,认为两国几何学的交流是互动的,对文化传播带来了积极影响。

论文目录

• 摘要
• 引言
• 第一章 中印勾股定理与无理数的产生和应用
• 第一节 中国和印度的勾股定理
• 1.1.1 中国的勾股定理
• 1.1.2 印度的对角线平方理论
• 1.1.3 定理应用的相同性
• 1.1.4 勾股定理的几何应用:图形相似
• 1.1.5 勾股定理的实际应用:测量术
• 1.1.6 勾股定理的算术应用:勾股数
• 第二节 早期对无理数的几何与数字意义的认识
• 1.2.1 古代印度和中国的无理数
• 1.2.2 东西方对待无理数的态度
• 1.2.3 无理数应用之相似性
• 第三节 印度数学家婆什迦罗对无理数的研究
• 1.3.1 生平及著作
• 1.3.2 关于无理数的运算
• 1.3.3 无理数开方的有限性
• 1.3.4 婆什迦罗的思想根源
• 第四节 中印早期几何发展相似的原因
• 第二章 中印关于几何图形面积和体积理论的研究
• 第一节 中印古代关于直线形面积理论的研究
• 2.1.1 中国出土文物和简犊中面积计算
• 2.1.2 古典文献中的面积理论
• 2.1.3 印度对直线图形的研究
• 第二节 中印面积理论与西方的比较研究
• 2.2.1 三者的定义
• 2.2.2 三者的比较研究
• 第三节 几何代数化与代数几何化
• 2.3.1 几何代数化
• 2.3.2 代数几何化
• 第四节 中印关于曲线图形的研究
• 2.4.1 中国的割圆术
• 2.4.2 印度关于曲线图形面积的研究
• 2.4.3 中国求解球面积的方法
• 2.4.4 印度对球体的研究
• 第五节 从计算球体积到极限理论的发展
• 2.5.1 问题的提出
• 2.5.2 无限分割术在中国的早期萌芽
• 2.5.3 东西方球体计算的比较研究
• 2.5.4 中印计算方法的剖析
• 第三章 中印几何图形体积知识的演进
• 第一节 中国古代对体积的研究
• 3.1.1 中国出土文物体积和竹简上记载的图形体积
• 3.1.2 数学文献中的体积公式
• 3.1.3 利用刘徽原理求解复杂立体图形的体积
• 3.1.4 刘徽、祖冲之以后体积的发展
• 第二节 印度的体积计算
• 3.2.1 印度对直线型图形的体积的计算
• 3.2.2 印度对曲线型立体体积的计算
• 第三节 中印两国几何的构造性之比较
• 3.3.1 什么是几何的构造性
• 3.3.2 中国几何的构造性
• 3.3.3 印度几何的构造性
• 第四章 印度与中国的三角学
• 第一节 三角术与三角公式
• 4.1.1 三角函数定义
• 4.1.2 象限
• 4.1.3 三角公式
• 第二节 正弦表的构造原理
• 4.2.1 印度正弦表的构造原理
• 4.2.2 希腊正弦表的构造原理
• 4.2.3 印度与希腊正弦表的关系
• 4.2.4 印度计算弦表的插值方法
• 第三节 中国的三角学
• 4.3.1 印度三角学的传入
• 4.3.2 一行的正切函数表
• 结语
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表的论文
• 后记