抛物型方程反问题的遗传算法

论文摘要

在自然科学与工程技术领域中有许多问题都可以用偏微分方程来描述,研究偏微分方程的数值解是解决上述问题的有力工具。偏微分方程反问题由于其源于各种实际背景以及研究领域的广阔性、多学科性等特点,使得其在理论研究和实际应用方面都有重要意义,已成为一门专门的学科。国内外有很多学者在这个领域进行研究,并利用各种数值方法和最新的研究结果来解决各种偏微分方程反问题。但反问题在Hadamard意义下是不适定的,主要表现在解不连续依赖于数据,也就是当方程右端项有微小变化时,所求得的近似解与真实值之间相差非常大,即不稳定。由于反问题的非适定性与非线性,使得它的理论与求解都比正问题要困难得多,而且涉及面广。目前国内外有许多求解反问题的方法,例如选择法、拟解法、以及Tikhonov正则化等,PST(脉冲普技术)与扰动方法也是求解此类问题的数值方法,但这些方法都各有不足之处。为此本文提出利用遗传算法求解反问题的新方法。遗传算法是一种模拟自然界生物进化的搜索算法,由于它的简单易行、鲁棒性强,尤其是其不需要专门的领域知识而仅用适应度函数作评价来指导搜索过程,从而使它的应用范围极为广泛,并且已在众多领域得到了实际应用,取得了许多令人瞩目的成果,引起了广大学者和工程人员的关注。但遗传算法是一种新兴的技术,正处于发展期,虽然在应用领域获得了丰收,但其理论基础还较薄弱,有许多地方需要研究和发展充实。本文对遗传算法理论与应用进行了一些研究工作,在对传统遗传算法的基本结构和基本流程的研究分析基础上,对传统遗传算法作了一些改进:扩展了传统遗传算法的群体概念,根据生物学上的“大量繁殖,生存竞争”的原理,细分了原来传统遗传算法的单一群体概念,提出了根据遗传的不同阶段分为两个不同的群体——竞争群体和适应性群体。在此基础上,提出相关的遗传算子——繁殖因子,由此改进了传统遗传算法计算模型,并将其用在抛物型方程反问题的求解中,通过数值模拟表明,用改进后的遗传算法求得的近似值与真实解之间具有很小的误差,达到很理想的程度,证明在实际应用中是可行的,这将对反问题的研究产生十分重要的意义。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第1章 绪论
• 1.1 偏微分方程的相关概念
• 1.2 反问题的基本概念及研究意义
• 1.3 反问题实例
• 1.4 反问题的数学结构及其分类
• 1.4.1 反问题的数学结构
• 1.4.2 微分方程反问题分类
• 1.5 本文主要研究工作
• 第2章 国内外反问题的研究发展现状
• 2.1 研究发展现况
• 2.2 亟待解决问题
• 2.3 研究反问题的理论方法和数值方法
• 第3章 遗传算法
• 3.1 遗传算法的生物学基础
• 3.2 遗传算法的发展历史
• 3.3 遗传算法的研究方向及应用
• 3.4 遗传算法基本概念
• 3.5 简单遗传算法的定义及基本流程
• 3.6 遗传算法数学基础
• 3.6.1 模式定理
• 3.6.2 其它基本定理
• 3.7 遗传算法的特点
• 3.7.1 遗传算法与其它搜索方法的比较
• 3.7.2 遗传算法的主要特点
• 第4章 标准遗传算法的改进
• 4.1 对标准遗传算法群体概念的改进
• 4.1.1 标准遗传算法群体概念分析
• 4.1.2 竞争群体和适应性群体
• 4.2 对标准遗传算法模型的改进
• 4.2.1 新群体概念提出的意义
• 4.2.2 两个群体规模差异的重要性及依据
• 第5章 抛物型方程反问题的遗传算法
• 5.1 反问题遗传算法的问题描述
• 5.2 算法设计与实现
• 5.3 数值模拟
• 第6章 总结与展望
• 参考文献
• 致谢
• 附录
• 1. 试验1的遗传算法程序设计
• 2. 攻读硕士学位期间发表的论文