论文摘要
科学和工程领域中,很多问题都可以归结为一个求解多项式方程组的问题。目前同伦方法是求多项式方程组全部孤立解的主要数值方法。基于Bezout定理的传统同伦方法利用方程组的全次数来界定孤立解的个数,从而确定需要跟踪的解路径的条数。而根据m-Bezout定理,不同的变元剖分对应不同的m-Bezout数,且m-Bezout数也是方程组孤立解个数的上界。很多情况下,最小m-Bezout数小于方程组的全次数,故利用最小m-Bezout数来界定孤立解的个数将减少需要跟踪的解路径条数。本文主要讨论利用同伦方法求解最小m-Bezout数小于全次数的多项式方程组。我们需要解决的问题是:怎样快速有效的找到最小m-Bezout数及其对应的剖分和怎样利用此剖分构造初始方程组。文献[10]中提出了两个求最小m-Bezout数及其对应的剖分的算法,但没有对其进行程序实现和深入研究。为了完善这项工作,我们对算法进行了程序实现,并对文献中已有的和随机生成的问题,与已有的其它算法进行了比较,说明了算法的可行性和有效性。我们还把文献[11]中构造的解具有m-齐次结构多项式方程组的同伦方法进行编程实现,给出了求解初始方程组的算法和路径跟踪算法。从而给出求解具有m-齐次结构多项式方程组的整套算法和完整程序。