逾渗模型的蒙特卡罗研究

论文摘要

自然界中存在着一类独特的现象,如干咖啡的浸透,多孔岩石中石油的流动,森林火灾,流行疾病等,这类问题的共同特点是,存在两种截然不同的宏观态：浸透—不浸透、导通—不导通、森林全着火—燃烧部分森林后火熄灭、疾病在人群中全面爆发—在部分人群中传播后终止传播,目出现哪种宏观态是受一个微观参数（占据概率或粒子浓度等）所控制。这类自然现象都包含一个类似于某种事物逐渐渗透的过程,故被命名为逾渗（percolation）。为研究逾渗现象而建立的各种各样的数学或物理模型则统称为逾渗模型。在统计物理的观点看来,逾渗模型的两种宏观态可被视为系统的两相（phase）,当微观参数p（占据概率或浓度）逐渐改变以至于越过某个特定值pc时,系统将从一相进入到另一相。这种现象可以视为相变（phase transition）,而上述的p。则可理解为相变点。因而,逾渗模型虽然最初作为一个纯粹的数学模型被提出,但其后来也被当做物理模型被研究。这些研究结果可以帮助人们更为深入地理解自然界中的相变和临界现象的物理本质。尽管逾渗模型的规则看似简单,但研究起来并不容易。到目前为止,能够通过解析研究并获得精确解的模型极为稀少,尤其是在比较有现实意义的三维。在此背景下,数值研究成为最为依赖的研究手段,特别是蒙特卡罗模拟（Monte Carlo simulation. MC）。本文借助蒙特卡罗模拟研究了两种最为基本的逾渗模型：各向同性逾渗（isotropic percolation, IP）和定向逾渗模型（directed percolation, DP）。更具体地,本文研究了三维简单立方（simple cubic, SC）格上的键逾渗（bond percolation）和点逾渗（site percolation）,以及（d十1）维（d=2到7）简单立方和体心立方（body-centered cubic, BCC）格子上的定向键逾渗和定向点逾渗模型。由于数值手段只能研究系统尺寸为有限的系统,但相变或相变点仅对无限大系统（热力学极限）才有意义,因而另一种工具—有限尺寸标度（finite size scaling, FSS）被使用。通过大规模地模拟和FSS（?）数据分析,本工作获得了关于逾渗阈值pc的普遍优于以住已有结果的估计,且部分高维模型的pc为首次提出。临界指数的结果的精度也获得了不同程度地改进。在三维各向同性逾渗的研究中,各种各样的取样量的临界行为被验证。其中wrapping概率被予以了重点地讨论,用它来确定模型的逾渗阈值被确认为是一种非常好的选择。特别是,本文的数据显示,有些wrapping概率的有限尺度修正项的leading项的指数为≈-2,而非通常所认为的普适值≈-1.1。在定向逾渗的研究中,十分高效地模拟手段（P.Grassberger首创）被使用。特别是,方差减小（variance reduction）（?）支术在高维非常高效,在同等目标精度下可大大节约CPU时间和计算资源。为了减少个拟合参数,一个无量纲量（dimensionless ratio）Q被定义和取样,并被用于确定逾渗阈值pc,另外本文还在DP中还讨论了两个直接观测量：t时刻的占据（或湿的）粒子数Ⅳ和新定义的回转半径R’的概率分布。在它们的分布函数中,每个表达式中仅出现一个临界指数。最后,我们还研究了逾渗集团的几何结构。通过将周期性方形格上键逾渗的临界构型（p=p。=1/2时）分解为三类键构型,树枝键（branthes）,区纽键（junctions和非桥键nonbridges）,并删除其中的树枝键,我们得到了所谓的leaf-free构型。进一步删除掉所有的枢纽键后将产生所谓的bridge-free构型。通过对这些构型及其外壳（hnll）的分形维,以及各种键密度的研究,我们发现了一些有趣的结果。比如,删除所有树枝键（在所有占据键中的比例≈43%）,不改变集团及其外壳长度的分形维；在大的系统尺寸下,桥键和非桥键的密度均趋于1/4等。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 几种典型的逾渗模型
• 1.2 研究逾渗的常用工具
• 1.3 逾渗模型的研究进展
• 1.4 本文的工作
• 第二章 三维键逾渗和点逾渗模型研究
• 2.1 背景介绍
• 2.2 取样观测量
• 2.3 估计Pc.
• 2.4 正好在Pc点时的结果
• 2.5 讨论
• 第三章 （￠/+1）-维定向逾渗模型研究
• 3.1 背景介绍
• 3.2 模型和模拟技术
• 3.3 逾渗阈值
• 3.4 临界指数
• 3.5 临界分布
• 3.6 讨论
• 第四章 逾渗集团的几何结构
• 4.1 背景介绍
• 4.2 模型，算法和取样量
• 4.3 结果
• 4.4 讨论
• 第五章 结论和展望
• 5.1 本文工作的总结和创新之处
• 5.2 逾渗模型研究展望
• 参考文献
• 附录A （1 + 1）维定向逾渗的逾渗阈值和临界指数的估计
• 附录B 优化的估计量的讨论
• 附录C 定向逾渗的另一种模拟方法
• 附录D 环对偶引理
• 致谢
• 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果