平面多项式微分系统的中心问题与极限环分支

论文摘要

本文主要研究平面多项式微分系统退化奇点与无穷远点的可积条件以及中心焦点判定与极限环分支，全文由七章组成。第一章对平面多项式微分系统极限环分支问题与中心问题的历史背景与研究现状进行了全面综述，并将本文所做的工作作了简单的介绍。第二章研究了一类三次多项式系统无穷远点的中心条件与赤道极限环分支。通过将实系统转化为复系统研究，给出了计算无穷远点奇点量的递推公式，并在计算机上用Mathematica推导出该系统无穷远点前七个无穷远点奇点量，进一步导出了无穷远点成为中心的条件和七阶细焦点的条件，得到了三次系统无穷远点分支出七个极限环的一个实例（本章内容发表在《Applied Mathematics and Computation》2006，V.177（1）上）。第三章研究了一类五次多项式系统无穷远点的中心条件与赤道极限环分枝问题。给出了计算五次多项式系统无穷远点奇点量的线性递推公式，运用这个公式及计算机代数系统Mathematica，计算了一类五次系统无穷远点的前十一个奇点量。同时得到了无穷远点的中心条件。首次构造了一个在无穷远点产生十一个极限环的五次多项式系统（在《Computers and Mathesatics with Applications》上已接收）。第四章研究了一类七次系统无穷远点的中心条件与赤道极限环分支问题。通过将实系统转化为复系统研究，给出了计算无穷远点奇点量的递推公式与系统无穷远点前十四个奇点量，进一步导出了无穷远点成为中心的条件和十四阶细焦点的条件，在此基础上首次得到了七次系统无穷远点分支出十三个极限环的一个实例。第五章研究了一类有两个小参数和八个普通参数的五次系统的退化奇点与无穷远点（赤道）的中心条件与极限环分支。通过两个同胚变换将退化奇点与无穷远点转变成初等奇点，进而计算了原点（退化奇点）与无穷远点的Lyapunov常数（奇点量），并由此得到了退化奇点与无穷远点的中心条件。在原点和无穷远点的同步扰动下，得到了极限环的{（7），2}和{（2），6}分布（本章内容发表在《Applied Mathematics and Computation》2006，V.181（1）上）。第六章研究了一类更广泛的复自治微分系统(其中z，w，T为相互独立的复变量，aαβ，bαβ是复常数，p，q为互质的整数，n为自然数)的原点（它是系统（1）的退化奇点）。定义了这类奇点的广义奇点量并研究了奇点量的结构，给出了计算奇点量的代数递推公式并得出了奇点为广义复中心的充要条件。本章结论是文[41，46]结论的推广。第七章研究了一类更广泛的多项式微分系统(其中z，w，T为相互独立的复变量，aαβ，bαβ是复常数，p，q为互质的整数，n为自然数)的无穷远点，定义了这类无穷远点的广义奇点量并研究了奇点量的结构，给出了计算无穷远点奇点量的代数递推公式并得出了无穷远点为广义复中心的充要条件。本章结论是文[46]结论的推广。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 极限环的研究现状与发展
• 1.1.1 退化奇点的极限环分支
• 1.1.2 赤道极限环分支
• 1.1.3 原点与无穷远点同步扰动条件下的极限环分支
• 1.2 中心问题
• 1.2.1 原点的中心问题
• 1.2.2 无穷远点的中心问题
• 1.3 本文的特色工作
• 第二章 一类在无穷远点有七个极限环的三次多项式系统
• 2.1 引言
• 2.2 无穷远点奇点量
• 2.3 中心条件与赤道极限环分支
• 第三章 一类五次多项式系统的中心条件与赤道极限环分支
• 3.1 引言
• 3.2 预备知识
• 3.3 无穷远点奇点量递推公式与计算
• 3.4 无穷远点的中心条件
• 3.5 无穷远点的极限环分支
• 第四章 一类七次多项式系统无穷远点的中心条件与赤道极限环分支
• 4.1 引言
• 4.2 无穷远点的奇点量与中心条件
• 4.3 极限环分支实例
• 第五章 一类五次系统退化奇点与无穷远点的极限环分支
• 5.1 引言
• 5.2 预备知识
• 5.3 原点的奇点量与中心条件
• 5.4 无穷远点的奇点量与中心条件
• 5.5 极限环分支实例
• 第六章 一类退化奇点的广义奇点量与中心条件
• 6.1 引言
• 6.2 广义奇点量与广义形式级数
• 6.3 广义中心条件与首次积分
• 6.4 拟旋转不变量与广义奇点量的代数结构
• 6.5 应用举例
• 第七章 一类无穷远点的广义奇点量与中心条件
• 7.1 引言
• 7.2 广义奇点量与广义形式级数
• 7.3 广义中心条件与首次积分
• 7.4 拟旋转不变量与广义奇点量的代数结构
• 参考文献
• δ=0计算'>附录一 第二章定理2.3系统（2.15）_δ=0计算
• 附录二 第三章定理3.4计算过程
• 附录三 第四章定理4.2计算过程
• δ₁=δ₂=0奇点量计算'>附录四 第五章系统（5.19）_δ1=δ2=0奇点量计算
• 致谢
• 攻读博士学位期间发表的学术论文