对于求解非线性微分方程的若干渐近法的研究

论文摘要

在研究现有的几种求解线性和非线性方程的渐近法的基础上,将其用来求解非线性微分方程。对于非线性问题的研究,很多方法局限于弱非线性方程的求解上,而对于求解强的非线性问题的方法并不多。根据近年来对非线性问题的不同研究方法及不同的方程来计算分析各个方法的优劣,对以前未能求解的一些方程运用合适的渐近法给出渐近解,从而为大部分不同类非线性微分方程的求解提供统一的、有效的解法。另外,通过对所得解的性质分析讨论解的各种物理形态并做出误差估计。采用渐近法的理论,包括欧拉-拉格朗日方程方程、变分理论、里茨法等基础知识,借鉴何吉欢教授的研究成果,采用类似的方法,结合实际例子,同时参考其它关于非线性微分方程的求解方法及理论对一些非线性偏微分方程给出有意义的新解。通过利用何吉欢教授提出的变分近似法、变分迭代法、凑合反推法及指数函数法,首先用不同方法求解一部分重要的偏微分方程,如Duffing方程、Riccati方程、Lambert方程、Kdv方程等,从这些方程的求解过程中分析各个方法,从而对其它微分方程如变系数非线性薛定谔方程、耦合的Klein-Gordon-Schr?dinger（K-G-S）方程、（2+1）维破裂孤子方程及几种线性的和非线性的薛定谔方程找到求解方法。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 渐近法的历史及现状分析
• 1.1.1 渐近法的历史发展
• 1.1.2 渐近方法现阶段发展状况
• 1.1.3 渐近方法的组成部分
• 1.2 选题的意义及全文的结构
• 1.2.1 选题的意义
• 1.2.2 全文的结构
• 第2章 变分近似法
• 2.1 变分近似法的基础知识
• 2.1.1 欧拉-拉格朗日方程
• 2.1.2 变分理论
• 2.1.3 里茨法
• 2.2 求解变系数非线性薛定谔方程的变分理论
• 2.3 求解耦合的Klein-Gordon-Schr?dinger（K-G-S）方程的变分理论
• 2.4 求解（2+1）维破裂孤子方程
• 2.5 本章小结
• 第3章 变分迭代法
• 3.1 变分迭代法的基本思想
• 3.2 利用变分迭代法来求解几种薛定谔方程
• 3.2.1 第一种线性薛定谔方程
• 3.2.2 第二种线性薛定谔方程
• 3.2.3 一种非线性薛定谔方程
• 3.2.4 高阶非线性薛定谔方程
• 3.3 本章小结
• 第4章 指数函数法
• 4.1 介绍
• 4.2 指数函数法的基本思想
• 4.3 范例
• 4.4 利用指数函数法求解（3+1）维 Klein-Gordon-Schr?dinger方程
• 4.5 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间承担的科研任务与主要成果
• 致谢
• 作者简介