关键词：函数；奇偶性；周期性；对称性；关系
函数的奇偶性、周期性和对称性三者之间有着必然的联系，如果知道其中两个就能得出另外一个，这对我们研究函数的性质很有帮助。
知识背景：1.奇函数的抽象性质：；2.偶函数的抽象性质：；3.周期函数的抽象性质：；4.对称函数的抽象性质：
若或，则函数图象关于直线对称；若或，则函数图象关于点对称.
一、由函数的奇偶性和周期性得到函数的对称性
例1.若函数是奇函数，周期为2，求证：函数关于点对称.
解析：∵函数是奇函数且周期为2，∴且，
∴，∴，即，
∴函数关于点对称.
例2.若函数是偶函数，周期为2，求证：函数关于直线对称.
解析：∵函数是偶函数且周期为2，∴且，
∴，即，∴函数关于直线对称.
二、由函数的奇偶性和对称性得到函数的周期性
例3.若函数是奇函数，图象关于直线对称，求证：函数的周期为.
解析：∵函数是奇函数且图象关于直线对称，
∴且，∴，
∴，∴，即函数的周期为.
同理：若函数是奇函数，图象关于关于点对称，可求出函数的周期为.
例4若函数是偶函数，图象关于直线对称，求证：函数的周期为.
解析：∵函数是偶函数且图象关于直线对称，∴且，∴，∴，即函数的周期为.
同理：若函数是偶函数，图象关于关于点对称，可求出函数的周期为.
三、由函数的周期性和对称性得到函数的奇偶性(有特定条件：周期是对称值的2倍)
例5已知函数的周期为，图象关于直线对称，求证：函数为偶函数.
解析：∵函数的图象关于直线对称，∴，
∴，又∵的周期为，∴，∴，即函数为偶函数.
例6已知函数的周期为，图象关于点对称，求证：函数为奇函数.
解析：∵函数的图象关于点对称，∴，
∴，又∵的周期为，∴，
∴，即函数为奇函数.
以上结论较多，只要同学们知道函数的奇偶性、周期性与对称性三者之间有着联系，并掌握推导方法即可.
作者简介：赵文龙，安徽省来安县第三中学，高中一级教师，滁州市中青年骨干教师，来安县政府授予“来安县名教师”荣誉称号。曾在《数理天地》《中学生数理化》《学习方法报》报刊杂志上分别发表文章《三角函数变换的技巧》《不要小看反比例函数》《对两种变量的讨论》。
(作者单位：安徽省来安县第三中学239200)