复杂网络的统计系综理论及其应用研究

论文摘要

复杂网络的研究是一项由数学、物理和经济学乃至社会学等学科组成的重要交叉研究邻域,在国内外受到了高度的关注和重视。本论文采用系综思想为主要方法展开对复杂网络的研究。我们运用系综方法建立相关的网络模型,并给出这些模型的分类。本论文的研究内容是：(1)从最大熵原理给出网络系综模型的统一形式,并对其进行了分类；(2)定义了正则网络系综、巨正则网络系综、微正则网络系综和乘积型权重函数网络系综模型,给出相应配分函数计算的详细数学推导,并讨论了伪图的系综模型；(3)讨论了能量函数或者乘积型权重函数形式对于网络的拓扑特征的影响,这包括网络的边数和节点度分布等,给出如何设定这些函数来达到所要求的任意度分布的方法；(4)从配分函数出发来推导有关网络系综的度分布的形式,证明了通过适当地选择乘积型权重函数形式就可生成出具有指定度分布的网络系综；(5)构造网络系综模型的马氏链Monto Carlo模拟算法,给出了各图之间的转移概率,证明了这样形成的马氏链将收敛到所设定的均衡分布；(6)编写MCMC算法的计算机程序,对有关系综模型做了数值模拟,并将所得的结果与理论的结果进行比较；(7)我们还针对网络尺寸大的特点,提出一种基于网络连接状态矩阵的谱分析方法,用于分析系综里网络的结构特征,这方法能有效地降低计算量,给出并证明了相应的谱估计式,同时应用于对一个经济网络的分析之中；(8)尝试将网络系综方法应用于经济网络的建模之中,建立并分析了相关的模型。总之,整个研究是建立在严格的数学基础之上并在计算机上实现了模型的数值模拟。我们的探讨研究表明：系综方法是能够用来建立较广一类的网络模型并计算其特征量的方法,尤其它是一种有潜力来控制网络达到给定特征量的模型。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 导论
• 1.1 复杂网络研究的现状与主要成果
• 1.1.1 复杂网络研究的起源
• 1.1.1.1 复杂网络研究的一些重要例子
• 1.1.2 网络的一些研究结果
• 1.1.2.1 基本记号
• 1.1.2.2 Erdos-Renyi随机图
• 1.1.3 系综方法
• 1.2 论文的研究方法和创新之处
• 1.2.1 研究方法与内容
• 1.2.2 论文特点与创新之处
• 第二章 复杂网络的系综模型
• 2.1 基本概念和术语
• 2.1.1 术语和记号
• 2.1.2 网络的马氏链过程
• 2.2 网络的系综
• 2.2.1 具有能量函数的网络系综
• 2.2.1.1 最大熵原理
• 2.2.1.2 齐性的正则网络系综
• 2.2.1.3 正则网络系综
• 2.2.1.4 巨正则网络系综
• 2.2.2 网络的统计量
• 2.2.3 更一般的正则网络系综
• 2.2.3.1 ER图G（N,L）模型的网络系综表示
• 2.2.3.2 ER图G（N,p）模型的网络系综表示
• 2.2.3.3 具有能量函数的G（N,p）网络系综模型
• 2.2.3.4 乘积型权重函数的网络系综模型
• 2.2.3.5 无标度网络模型与一般度分布网络的系综
• 2.2.4 微正则类的网络系综模型
• 2.2.4.1 齐性微正则网络系综
• 2.2.4.2 微正则网络系综
• 2.3 几种基于网络拓扑特性的正则网络系综
• 2.3.1 基于网络局部性质的能量函数
• 2.3.1.1 节点度的非线性型能量函数
• 2.3.1.2 基于度-度相关性的能量函数
• 2.3.2 基于全局性质的能量函数
• 2.3.2.1 基于图的分部尺寸的能量函数
• 2.3.2.2 基于网络直径的能量函数
• 2.4 正则伪图系综模型
• 2.4.1 齐性正则伪系综
• 2.4.1.1 乘积型权重函数的正则伪系综
• 第三章 网络系综模型的模拟
• 3.1 模拟方法概述
• 3.2 马氏链Monte Carlo方法
• 3.3 图的随机转移规则
• 3.4 网络系综的模拟
• 第四章 基于连接状态矩阵的网络谱分析法
• 4.1 问题的提出
• 4.2 连接状态矩阵、Laplace矩阵及其谱
• 4.3 谱分析在经济交易网络的应用
• 第五章 系综方法在经济网络的应用
• 5.1 前言
• 5.2 基本概念和记号
• 5.2.1 术语和记号
• 5.2.2 网络稳定性和有效性
• 5.3 经济网络的形成模型
• 5.3.1 模型
• 5.3.2 有效网络和稳定网络
• 5.3.3 系综里网络的动态转移
• 5.3.4 一个算例
• 结论
• 参考文献
• 致谢
• 个人简历、在学期间的研究成果及发表的论文