Lipschitz条件在凸函数中的应用

论文摘要

在20世纪中后期,世界上的数学家们对凸函数进行了广泛深入的研究。凸函数有许多很好的性质,它的凸性和其本身的定义是建立在不等式基础上的,这一事实使得凸函数成为了证明不等式的重要工具,由此建立和改进了大量的不等式。与凸函数有关的不等式在数学的基础理论和应用中都起着非常重要的作用,凸函数的Hadamard不等式及Jensen不等式都是凸函数重要的经典内容。Lipschitz条件是德国数学家Rudolf Lipschitz给出来的,是应用很广泛的一个数学条件,其在一元函数与多元函数的一致连续性、泛函分析中的不动点理论等问题中都有着很好的应用。在2000年S. S. Dragomir发现一元凸函数在一定条件下满足Lipschitz条件,但满足Lipschitz条件的函数并非都是凸函数。S. S. Dragomir和王良成教授先后将Lipschitz条件运用于凸函数的Hadamard不等式中,建立了一类具有Lipschitz条件的Hadamard型不等式。本文第二节继续了S. S. Dragomir和王良成教授的工作,先将Hadamard不等式的凸函数换成具有Lipschitz条件的函数,然后建立一类新的具有Lipschitz条件的Hadamard型不等式。本文第三节,运用了第二节的思想方法,将Lipschitz条件应用于Jensen不等式中,由此获得了一类具有Lipschitz条件的Jensen型不等式。本文第四节将第二、三节结果中的具有Lipschitz条件的函数还原成凸函数,从而由凸函数的Hadamard不等式与Jensen不等式生成若干新型不等式。本文极大地丰富了凸函数的Hadamard不等式与Jensen不等式的理论。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 研究背景
• 1.2 国内外研究现状
• 1.3 课题来源及问题的提出
• 2 具有Lipschitz 条件的Hadamard 型不等式
• 2.1 几个主要定理
• 2.2 定理2.1-2.5 的证明
• 3 具有Lipschitz 条件的Jensen 型不等式
• 3.1 几个主要定理
• 3.2 定理3.1-3.2 的证明
• 4 应用
• 5 结束语
• 致谢
• 参考文献
• 附录1（个人简历、在学期间发表的学术论文及取得的研究成果）