论文摘要
本文围绕（微分）算子领域的特征值数值计算、对称算子自共轭扩张及微分算子自共轭域描述三个方面开展研究工作.关于微分算子特征值的数值计算,无论在理论上,还是在实践中,都有着重要的意义.事实上,能直接给出解析解的微分算子只有很少几类,但是对于数值方法,特别是随着现代高速计算机的出现与更新,在定量解决各种工程技术问题时显出越来越大的威力.同时我们更应该注意到,数值结果反过来可以进一步启发人们得出更加深刻的定性结果.数值分析在理论研究中起着越来越重要的作用.在流体和磁流体等理论中提出的高阶（非）自共轭问题、多层介质中的热传导或扩散问题和边条件中含有谱参数的问题是微分算子谱理论中的几个新的重要问题.过去的数值方法多是针对二阶自共轭问题,近些年,Greenberg和Marletta提出了一种基于Atkinson-Pr（u+¨）fer振动理论的打靶法,但是这种方法在求解微分方程初值问题时,采用的是分段常系数逼近的办法,在处理高振动系数问题时有一定的缺陷.针对以上问题,我们提出了一种全新的方法,提供了处理这些问题的一种统一的框架.通过特征方程ly（x,λ）=λy（x,λ）（其中,l表示n阶常微分算式,λ是特征参数.）一般解的一种关于特征参数的幂级数表示,我们发现并证明了其系数满足由微分方程构成的一种递推关系.根据Volterra积分算子的性质,我们给出并证明了一种求解系数函数αi（x）的方法,由此构造了求解特征方程幂级数形式解的方法.进而,我们证明了这种方法在数值上的稳定性,并给出了这种幂级数解的截断误差估计.由幂级数解,可计算出相应的特征行列式（其零点即特征值）,再应用求根工具可求出特征值的数值解.进一步地,我们给出了相应的特征函数的计算方法.最后,通过具体的算例,验证和分析了我们的计算方法.本算法结构简单,思路清晰,适用性广,不仅可以求解二阶自共轭问题,还可求解上述提到的高阶（非）自共轭,不连续Sturm-Liouville问题等这些新问题.同时,本算法也克服了Greenberg和Marletta方法的一些缺陷.在经典的边值空间理论中,对称算子扩张的描述实际上是以线性关系的有关理论为模型而进行的.这使得边值空间理论在应用中不很方便,对其发挥其威力带来了一定的阻碍作用.因此本文以构造性的方法发展边值空间理论,讨论自共轭扩张描述的相关问题.首先,从Neumann公式及自共轭的定义出发,直接证明了边界映射与自共轭域的联系,以构造性的方法证明了所有的自共轭域可通过任意一个边值空间“酉参数化”.以上讨论方法比利用线性关系的讨论要更加简便和直接.另外,我们发现了一般边界映射所具有的结构,并重新给出了边值空间的一种构造性的定义.进一步地,我们讨论了用于“酉参数化”自共轭扩张的酉变换与Cayley扩张的酉变换之间存在一个双解析的映射,为进一步研究谱与边界条件的依赖关系起到了铺垫作用.最后,我们给出并证明了一般的边界条件B（x）:=MΓ1x+NΓ2x=0（其中M,N是阶数为亏指数的方阵）是自共轭的充要条件,以及相应的边界映射的构造方法.这个结果是对所有具有相等亏指数（＜∞）的闭对称算子都是适用的,因此为各种类型的常微分算子的实际应用提供了统一的工具.本文中借助所发展的一般的对称算子自共轭扩张的边值空间理论,重新给出常微分算子自共轭域的解析描述.具体地,对于正则的和奇异的常微分算子以及不连续的Sturm-Liouville算子,运用一种简单的边界映射和Cm（m表示相应算子的亏指数）上的酉变换,我们“参数化”的给出了所有的自共轭扩张.本文共分八章,第一章绪论,介绍本文所研究问题的背景及本文的主要结果;第二章简单介绍产生微分算子谱问题的几个实际背景;第三章介绍利用分离特征参数法求解特征方程含参数解的一般方法,以及相应特征函数的计算方法;第四章和第五章分别讨论自共轭和非自共轭问题特征值的数值解法,及相应的算例和数值分析;第六章讨论对称算子自共轭扩张的边值空间理论;第七章讨论常微分算子自共轭域描述的边值空间方法;第八章讨论不连续Sturm-Liouville问题自共轭域描述的边值空间方法.
论文目录
相关论文文献
- [1].复对称算子的一些等价性质[J]. 数学的实践与认识 2010(08)
- [2].对称算子均衡问题解的存在性分析[J]. 四川大学学报(自然科学版) 2017(03)
- [3].利用强对称和逆强对称算子构造可积方程族—–以势mKdV方程的强对称和逆强对称算子为例[J]. 宁波大学学报(理工版) 2020(05)
- [4].对称算子空间上保持Jordan三重零积的映射[J]. 数学学习与研究 2016(03)
- [5].电磁对称和对称算子[J]. 电气电子教学学报 2011(01)
- [6].无穷维Hamilton算子的对称性[J]. 数码设计 2017(10)
- [7].无穷维Hamilton算子的自伴性[J]. 河套学院论坛 2018(03)
- [8].Mikhauilov-Novikov-Wang方程族及其bi-Hamilton结构与守恒律[J]. 郑州大学学报(理学版) 2016(02)
- [9].构造(2+1)维扰动Boussinesq方程的近似守恒律[J]. 纺织高校基础科学学报 2013(04)
- [10].基于改进对称变换的人眼定位[J]. 西北大学学报(自然科学版) 2008(04)
标签：对称算子论文; 微分算子论文; 不连续算子论文; 自共轭扩张论文; 边值空间论文; 边界三元组论文; 数值计算论文; 特征值论文; 特征函数论文; 分离特征参数论文;