非光滑力学问题的数学规划法研究

论文摘要

非光滑力学是正在蓬勃发展的一个新兴力学分支，它致力于力学中不可微、不连续和非凸问题的研究。由于数学模型的非光滑性，使得数学规划法和非光滑分析等成为研究非光滑力学所必需的数学工具。本文将一些新近发展的数学规划方法引入到非光滑力学的研究，并具体用于塑性极限分析、动力接触和非光滑结构设计等几个高度非线性力学专题的研究，提出了基于数学规划思想的一些精确建模和高效数值求解策略。 论文第1～3章的内容属非光滑力学一般方法的讨论，第4～6章专题研究了三类非光滑力学问题的新型数值方法。具体内容如下： 第一章为文献综述和选题背景。首先简要介绍了非光滑力学的一些基本概念，并通过几个具体的力学问题阐述了非光滑力学研究的基本特点；然后，回顾了非光滑力学的发展历史和研究现状，并在此基础上引出本文的研究工作。 第二章为数学方法预备。首先，介绍了目前研究非光滑力学问题的一些常用数学方法，并特别介绍了当前求解变分不等式和互补问题的一些流行算法；然后，针对基于GAP函数的变分不等式等价最优化问题的不可微性，本文将一类积分型全局最优性条件作为无限维极大值函数的一种新型光滑化技术而引入，建立了将一般变分不等式转化为可微优化问题求解的一个新方法。 第三章提出了一个正则化求解非光滑力学问题的一般框架。引入数学规划中熵正则化方法的思想，通过对非光滑力学问题的变分不等式模型、互补模型或次微分模型等施以熵正则化，建立了非光滑力学问题的一致光滑逼近模型。基于所建立的正则化求解框架，一些成熟的光滑非线性力学方法可被用于非光滑力学问题的求解，极大缩短了已有非光滑力学理论与工程实际应用之间的差距。 第四章利用非线性规划法研究连续体塑性极限分析。首先，利用凸规划Lagrange对偶原理，揭示了塑性极限分析原理中的对偶关系，具体包括：Hill最大塑性功原理对偶问题的建立和上、下限定理所对应非线性规划模型之间对偶关系的推证；然后，基于所澄清的对偶关系，建立了极限分析的一个线性等式约束下的不可微凸规划模型，并提出了一种易为工程师掌握的熵正则化算法。所提方法由于避免了线性化而极大地提高了极限分析的计算效率和精度。 第五章利用互补模型研究动力接触问题的求解。首先，提出了一组动力接触条件，它是经典位移型接触条件(如Signorini接触条件)在动力情形下的一个修正。新的动力接触条件表达为接触冲量与接触点速度之间的互补条件，它能够统一刻画接触边界处于未接触、初始接触、持续接触和脱开接触等状态。然后，基于所提出的互补型动力接触

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 研究背景与动机
• 1.2 非光滑力学问题
• 1.2.1 边界条件非光滑的力学问题
• 1.2.2 材料本构模型非光滑的力学问题
• 1.2.3 非光滑力学问题的变分提法
• 1.3 非光滑力学文献综述
• 1.3.1 非光滑力学的数学建模方法概述
• 1.3.2 非光滑力学的数值方法概述
• 1.4 本文的研究工作
• 2 非光滑力学的数学方法
• 2.1 引言
• 2.2 非光滑力学的数学建模方法
• 2.2.1 凸分析中的几个基本概念
• 2.2.2 变分不等式和互补问题
• 2.3 变分不等式和互补问题的算法
• 2.3.1 互补问题的算法
• 2.3.2 变分不等式的算法
• 2.4 变分不等式的一个新的光滑GAP函数
• 2.4.1 积分型全局最优性条件
• 2.4.2 变分不等式的一个光滑GAP函数
• 2.4.3 数值测试
• 2.5 本章小结
• 3 非光滑力学的熵正则化方法研究
• 3.1 引言
• 3.2 熵正则化方法的基本思想
• 3.2.1 极大极小问题的熵正则化方法
• 3.2.2 一般约束优化问题的熵正则化方法
• 3.2.3 互补问题和变分不等式问题的熵正则化方法
• 3.3 非光滑力学的熵正则化法
• 3.3.1 边界条件非光滑问题的熵正则化
• 3.3.2 材料本构模型非光滑问题的熵正则化
• 3.3.3 非光滑力学熵正则化法应用举例
• 3.4 本章小结
• 4 塑性极限分析的不可微模型及其算法研究
• 4.1 引言
• 4.2 塑性流动法则的等价极值原理
• 4.3 塑性极限分析定理的另一种推导
• 4.4 塑性极限分析原理中的对偶关系
• 4.4.1 Hill最大塑性功原理的对偶问题
• 4.4.2 连续体上下限分析非线性规划模型的对偶关系
• 4.5 塑性极限分析的熵正则化算法
• 4.5.1 线性约束最小化Euclid模之和的熵正则化算法
• 4.5.2 数值算例
• 4.6 本章小结
• 5 动力接触问题的互补模型及其算法研究
• 5.1 引言
• 5.2 互补型动力接触界面约束条件
• 5.2.1 一维冲击例子
• 5.2.2 接触点的运动学研究
• 5.2.3 互补型动力接触条件
• 5.3 动力接触问题的变分提法及其半离散形式
• 5.4 动力接触问题的间断Galerkin时间有限元法
• 5.4.1 间断Galerkin时间有限元的基本公式
• 5.4.2 动力接触问题的一个概念型算法
• 5.5 数值算例
• 5.6 本章小结
• 6 非光滑结构优化设计的MPEC模型及其算法研究
• 6.1 引言
• 6.2 MPEC问题的熵正则化-隐式规划方法
• 6.3 非光滑结构灵敏度分析的熵正则化法
• 6.3.1 弹塑性分析的互补模型
• 6.3.2 弹塑性结构灵敏度分析
• 6.3.3 数值算例
• 6.4 非光滑结构优化的序列优化算法
• 6.4.1 接触分析的互补模型
• 6.4.2 接触力优化及其灵敏度分析的熵正则化模型
• 6.4.3 基于正则化过程的序列二次规划算法
• 6.4.4 数值算例
• 6.5 本章小结
• 7 总结与展望
• 参考文献
• 论文创新点摘要
• 攻读博士学位期间发表学术论文情况
• 致谢