随机微分方程及其数值方法的研究

论文摘要

随机微分方程广泛应用于金融系统,数量经济,控制系统,统计物理,系统生物等领域。但是在实际应用当中,由于没有有效的求解随机微分方程的数值方法以及充足的相关资源,使得在描述经济,物理,生物,自动化现象的数学模型时通常是忽略随机因素来进行简化研究的,这样这种模型就不能很好的得到利用。近年来,经过数学家们在这方面的不断努力,终于在随机微分方程数值解方面取得了骄人的成果,这就意味着某些随机模型可以利用计算机程序模拟来进行研究和探索。由于随机系统本身的复杂性,一般情况下很难得到方程理论解的显示表达式,只有一些特殊的随机微分方程才能求出其解析解[11]。当随机微分方程的解析解无法给出时,我们只能通过讨论解过程的各阶矩性质来探究解的性态,本文在第一章,第二章里首先介绍了随机微分方程的背景知识及其相关理论,其中包括布朗运动的描述,随机分析介绍,解的存在唯一性定理,以及线性随机微分方程和它相应的解的解析表达式。第三章和第四章是本文的重点。在第三章里首先给出了数值方法收敛性和稳定性的相关定理和定义,接着证明了对于二级R-K数值方法,适当选取矩阵A,B和向量α,β,强收敛阶可以达到1.0。着重讨论了R-K方法的三种格式的均方稳定性,求出了R-K方法的三种格式的均方稳定函数,进而给出了R-K显式方法和R-K半隐式方法的稳定区域,并得出R-K显式方法和R-K半隐式方法的稳定性不可比,这种性质不同于Euler方法和Milstein方法的相应结论。在第四章,以线性微分方程为检验方程,将R-K方法的三种格式与Euler方法和Milstein方法相应的三种格式在全局误差估计和收敛率等方面进行了比较,并用表格的形式直观的表示出来,进而而得出的结论是：R-K方法的均方稳定性优于Euler方法和Milstein方法.最后将R-K方法,Euler方法和Milstein方法的相应的三种格式与精确解的逼近用九个图片表示出来,可以直观的观察到R-K方法三种格式的方法整体上都比较接近精确解,而且在精确度和收敛性方面都优于Euler方法和Milstein方法。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 随机微分方程的发展背景
• 1.2 本文的研究简介
• 第二章 预备知识
• 2.1 Brown运动
• 2.2 随机积分
• 2.3 随机微分方程解的存在唯一性
• 第三章 二级R-K方法的收敛性和均方稳定性
• 3.1 收敛性与稳定性
• 3.1.1 收敛性
• 3.1.2 稳定性
• 3.2 主要结果
• 3.2.1 二级R-K方法的表达形式
• 3.2.2 R-K方法的收敛性与均方稳定性理论
• 第四章 数值模拟与数值方法的比较
• 4.1 Euler方法和Milstein方法的简介
• 4.1.1 Euler方法
• 4.1.2 Milstein方法
• 4.2 R-K方法与Eluer方法和Milstein方法的比较
• 第五章 前景展望与待解决的问题
• 参考文献
• 致谢
• 附录