基于GEP的参数识别问题的研究

论文摘要

偏微分方程反问题的研究领域非常广阔。它来源于各种实际背景,属于多学科的应用理论范畴,在理论研究和实际应用方面都有重要意义。在实际情况中,偏微分方程中的算子、右端项、边界条件、初始条件从过去的已知变成未知,而原方程的解仍然未知时,就构成了偏微分方程的反问题。这些反问题在Hadamard意义下都是不适定的,主要表现在解不连续依赖于数据,也就是当方程右端项有微小变化时,所求得的近似解与真实值之间相差非常大,即不稳定性。由于反问题的非适定性与非线性性,使得它的理论与求解都比正问题困难得多,而且涉及面广,所以如何解决这些问题,成为广大数学工作者、自然科学工作者及工程技术人员努力开拓的一个崭新的学科领域。 参数识别反问题是偏微分方程反问题的一类,也是在自然科学与工程技术的各领域比较常见的问题。这里,所识别的参数又可以分为连续型的和间断型的两类。连续型的参数识别已经有了很多这方面的研究,我们可以采用一般的遗传算法或遗传程序设计对该类问题进行识别。但是,由于间断参数的特殊性,如果还是采用上述算法,就会给识别带来本质上的困难。函数的间断性将函数划分成若干个区域,在各个区域上有着各自的子函数。要识别整个函数,就必须同时识别若干个区域和其上的子函数。这种复杂性使得间断参函数识别问题成为一种具有挑战性的难以求解的问题。同时,常规的数值方法解决偏微分方程反问题容易陷入局部最优,并带来复杂数值计算。因此,本文用演化算法中的一种新算法——基因表达式编程算法对偏微分方程的参数进行识别。一方面可以避免反问题所带来的不适定性,另一方面可以避免数值方法陷入局部最优。根据间断函数的特点,我们采用分域表达式挖掘方法来进行函数挖掘。该方法是对基因表达式算法的改进,能够挖掘间断函数,具有对数数量级的复杂度。实验结果显示:基于基因表达式编程算法的参数识别过程是很成功的。对于不同类型的参数,函数挖掘的成功率较以往算法都有了很大的提高。

论文目录

• 第1章 绪论
• 1.1 课题概述
• 1.2 相关研究现状
• 1.3 本文的组织结构
• 第2章 偏微分方程反问题
• 2.1 引言
• 2.2 偏微分方程反问题的基本理论
• 2.2.1 偏微分方程的有关概念
• 2.2.2 反问题的概念及其分类
• 2.3 反问题的不适定性及正则化方法
• 第3章 基因表达式编程
• 3.1 基因表达的生物学背景
• 3.2 基因表达式编程实现
• 3.2.1 基因表达式编程的基因和染色体构成
• 3.2.2 评价函数的设计
• 3.2.3 遗传算子
• 3.4 GEP的优越性
• 3.4.1 智能性
• 3.4.2 并行性
• 3.4.3 染色体的结构简单紧凑
• 3.4.4 遗传操作的封闭性
• 第4章 连续型参数的识别方法
• 4.1 连续参数识别问题的描述
• 4.2 演化算法求解参数识别问题的基本框架
• 4.3 连续参数的识别方法
• 4.3.1 正问题的解法
• 4.3.2 用GEP解决偏微分方程的具体过程
• 4.3.2.1 原理和方法
• 4.3.2.2 偏微分方程的处理
• 4.3.2.3 适应度评价
• 4.3.2.4 选择算子
• 4.3.2.5 遗传操作
• 4.3.2.6 算法的终止条件
• 4.3.2.7 性能评价测度
• 4.4 数值实验
• 第5章 间断型参数的识别方法
• 5.1 间断参数识别问题的描述
• 5.2 基于GEP的间断型参数识别
• 5.2.1 正问题的求解
• 5.2.2 用GEP解决偏微分方程的具体过程
• 5.2.2.1 分域边界的确定
• 5.2.2.2 分域的合并
• 5.3 数值实验
• 第6章 结论与展望
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士学位期间发表的论文
• 附录