非线性Schr（?）dinger方程的高精度守恒差分格式

论文摘要

非线性SCHR?DINGER(NLS)方程在高能物理、量子力学、非线性光学、超导及深水波等方面的研究中,起着非常重要的作用。本论文主要研究了几种非线性SCHR?DINGER方程的高精度守恒差分格式。首先,我们对一般的非线性SCHR?DINGER方程构造了一个线性化三层十一点守恒差分格式。此格式很好地保持了离散电荷和离散能量守恒,具有很好的稳定性和收敛性,在时间和空间上关于离散最大模分别具有二阶和四阶精度。而且,此格式是一个无需迭代的线性化格式,因而在计算时间上也有了很大的改善。然后,我们对含五次项的非线性SCHR?DINGER方程构造了两个高精度的守恒差分格式——两层十点格式和三层十一点格式。理论和数值实验均表明这两个格式具有很好的稳定性和收敛性,亦具有很好的精度。最后,用同样的方法对径向对称的非线性SCHR?DINGER方程构造了两个守恒差分格式,理论分析和数值实验表明这两个格式是有效的。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 科学计算与偏微分方程数值解
• 1.2 Schr?dinger 方程的研究现状
• 1.3 本文研究内容
• 1.4 预备知识
• 第二章 非线性 Schr?dinger 方程的高精度守恒数值格式
• 2.1 引言
• 2.2 差分格式的构造
• 2.3 差分格式的稳定性和收敛性
• 2.4 数值实验
• 第三章 带五次项的非线性 Schr?dinger 方程的高精度格式
• 3.1 引言
• 3.2 两层十点差分格式
• 3.2.1 格式构造
• 3.2.2 差分格式的稳定性和收敛性
• 3.3 三层十一点差分格式
• 3.3.1 差分格式的构造
• 3.3.2 差分格式的稳定性和收敛性
• 3.4 计算方法与数值实验
• 第四章 径向对称非线性 Schr?dinger 方程的高精度格式
• 4.1 引言
• 4.2 两层十点差分格式
• 4.2.1 差分格式的构造
• 4.2.2 差分格式的收敛性和稳定性
• 4.3 三层十一点差分格式
• 4.3.1 格式的构造
• 4.3.2 差分格式的收敛性和稳定性
• 4.4 计算方法和算例
• 第五章 总结与展望
• 参考文献
• 致谢
• 在学期间的研究成果及发表的学术论文