论文摘要
偏微分方程反问题是一个新兴的研究领域。通常正问题研究由给定的方程和相应的初边值条件来求方程的解。与正问题不同，反问题研究由解的部分已知信息来求定解问题中的某些未知量，如方程中的系数，定解问题的区域或是某些定解条件。反问题大都具有不适定的特点，该特点也是反问题研究的难点所在。一个问题如果其解存在，唯一并且连续依赖于输入数据，就称该问题是适定的，否则称为不适定。由于定解数据常为试验观测数据，难免有误差，故而当一个问题不适定时，定解数据的微小变化将会导致问题解的巨大变化，此时得到的解将毫无意义。因此解决反问题的关键在于寻找问题的适定性条件，使得原问题在新的条件下是适定的。本文研究在已知一个二阶抛物型方程的终端值的情况下，反求其低阶项系数q的反问题。这种类型的反问题在诸如金融，物理等许多应用科学领域具有重要意义。根据未知系数q的维数不同，有两类不同的问题分别记为问题P1和P2。问题P1中的未知系数q仅与空间变量x相关，而与时间变量t无关，即q=q(x)。问题P2中的未知系数q不仅与空间变量x相关，而且与时间变量t也相关，即q=q(x，t)。问题P2通常称为发展型的反问题。本文利用最优化方法对两类问题都作了深入分析。全文共分为三个部分。第一章对问题P1，P2及其相关的研究背景作了简要介绍。第二章主要从理论分析角度讨论问题P1。§2.1分析了问题P1的强不适定性。§2.2将问题P1化为—个最优控制问题，并构造了控制泛函。§2.3讨论了控制问题及其逼近问题极小元的存在性。§2.4则给出了控制问题及其逼近问题极小元所满足的必要条件。§2.5证明了逼近问题的解收敛于原控制问题的解。由于控制泛函非凸，一般来说没有唯一性。最后一小节在假设T比较小的情况下，得到了极小元的局部唯一性。第三章则主要从理论分析角度讨论问题P2。§3.1分析了P2的强不适定性。问题P2与问题P1不同，直接利用附加条件整体重构未知系数q(x，t)难以克服数值不稳定的缺陷。§3.2将重构q(x，t)的反问题化为一个逐层重构q_n，n=1，…，N的问题，并得到了q_n所满足的必要条件。q_n称为第n层上的最优控制元，利用q_n我们定义了离散最优控制元q~h(x，t)。§3.3得到了一些与q~h(x，t)相关的一致有界估计，所有的估计均与时间步长h无关。§3.4中证明了当h→0时，q~h(x，t)必收敛于极限最优控制元q(x，t)，并建立了q(x，t)所满足的必要条件。最后一小节证明了q(x，t)在L~2意义下是唯一的，并且连续依赖于定解条件。