论文摘要
信赖域算法是求解非线性优化问题的一类重要的数值计算方法,它可以解决非线性方程(组)、无约束和约束优化以及非光滑优化问题.由于信赖域算法良好的性质,即强适性和较强的收敛性,因此受到非线性优化研究界的广泛重视.特别是最近十多年,这种方法已经成为非线性最优化问题研究的一个热点.到目前为止,国内外的数学工作者已提出了如下几种主要的信赖域方法,即:内点型信赖域方法、非单调信赖域方法、自适应信赖域方法、锥模型信赖域方法、带记忆的信赖域方法和过滤信赖域方法等.然而,把几种信赖域方法结合起来进行的研究进展缓慢,这些方法在每次迭代时都要求解一个信赖域子问题,计算量较大.此外,最近几年提出的微粒群算法存在“早熟”和不收敛的问题,但目前把这种收敛性较好的信赖域算法与微粒群算法相结合的研究还较少.鉴此,论文选取如下两个方面的问题作为研究内容:(1)把非单调技术和自适应技术以及线搜索技术结合起来,构造求解优化问题的信赖域算法;(2)把微粒群算法与信赖域方法相结合形成一种混合搜索方法.论文的研究内容主要包括以下几个部分:第一章是绪论,主要介绍了信赖域算法的历史和现状,本文的创新和突破,以及本文的现实意义.第二章构造了适用范围更为广泛的,容易实施的处理非线性系统问题的信赖域方法,把非线性系统问题转化为非线性优化问题之后进行处理.显然,该算法也适合于求解无约束非线性优化问题.第三章提出了一种带固定步长的非单调自适应信赖域方法,把非单调技术和自适应技术相结合,避免了Maratos效应,也克服了信赖域半径调节过于机械的弊病,数值试验表明对于高维问题也具有很好的效果.第四章提出了一个新的求解非线性方程组的非单调自适应信赖域方法,算法的收敛性得到了证明,有限的数值试验表明算法是有效的.第五章建立了一种求解无约束优化问题的混合信赖域方法,把微粒群方法应用到信赖域子问题的求解,从而在一定程度上,避免了在迭代过程中求解带信赖域界的子问题,减小了计算的花费.数值试验表明算法是有效的.