论文摘要
本文以代数方程论发展的历史为线索,以数学内在的逻辑分析为原理方法,通过对原始文献及相关著作的研究,试图清晰地阐述阿贝尔关于一般五次方程根式解不存在的证明思想,并对其来源进行追溯与整理,使其整体展现为连贯的思想脉络。本文将分为三个部分以完成上述目标：第一部分将详细的介绍和说明早期代数方程发展中的重要知识,从而为后两部分的展开打下知识基础以及确定问题讨论的背景。从对代数符号体系的发展到方程根的存在性及个数问题的介绍引出对称多项式基本定理及根式可解的概念。第二部分分析了几位重要的数学家在代数方程论方面的工作,为阿贝尔的代数方程思想的展开作以铺垫,这些前人的思想方法对阿贝尔都是具有启发意义的。其中,拉格朗日从既有的解法中抽象归纳出方程根的置换性质并提出求解方程的预解式思想,为之后数学家对代数方程的研究开启了新方法。高斯对分圆方程根式可解性的研究为阿贝尔确定其对一般方程的思考提供了依据之一。鲁菲尼则发展了拉格朗日的置换思想,提出在变量个数为五个及五个以上的拉格朗日预解式是不存在的,此结论之后被柯西推广为一般性的定理并为阿贝尔应用在其证明中。第三部分是本文的重心所在,延续前面几位数学家的重要思想及方法,阿贝尔对般五次方程的根式可解性发起了攻击。其证明的方法主要分为两步。阿贝尔采用了反证法的思想,即在证明之初假设一般五次方程的根式解是存在的,并给出任意次代数方程的解的最一般形式。进而阿贝尔证明解的表达式中的所有关于原方程系数的无理根式项都是关于原方程根的有理函数。第二步则依据柯西定理的内容构造得出矛盾,这便推出前提假设是错误的。从而即完成了对一般五次方程根式解不存在的证明。