赋范线性空间中与正交性相关的若干问题

论文摘要

本文从赋范线性空间的广义正交性出发,利用与广义正交性相关的曲线在局部的点态性质,推断空间的整体性质。本文证明了二维赋范线性空间中既等腰正交又欧式正交的元的存在性。进而,证明了每一个中心对称的闭凸曲线都能内接一个正方形。本文还对Radon曲线,以及Minkowski平面进行了研究。证明了单位圆是Radon曲线且具有π/2性质的空间是内积空间。前人在对各种广义正交性之间的关系、正交性和空间性质关系的研究中得到了很多重要的结论。然而,这些研究通常都局限于关注空间整体的正交性的性质,以及它对空间整体性质的影响,而忽视了空间在某些特殊点处的正交性的性质将会对整个空间整体的性质起到的作用,对正交性在点态所具有的性质对空间性质的影响的研究至今还是空白。本文从点态入手,在第二章中,给出了既等腰正交又Birkhoff正交的元存在的一个充分条件,证明了在任意实二维赋范线性空间中既等腰正交又欧式正交的元的存在性。进而用全新的方法证明了每一个中心对称的闭凸曲线均能内接一个正方形。我们的结论不但关注内接正方行的存在性而且给出了内接正方形与它所在的Minkowski平面之间新的关系。在第三章中,本文证明了单位圆是Radon曲线且具有π/2性质的空间是内积空间。这部分的结论是对前人相关结论的新的补充。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 第1章 绪论
• 1.1 课题背景
• 1.2 BIRKHOFF 正交
• 1.2.1 Birkhoff 正交的定义和基本性质
• 1.2.2 Birkhoff 正交和内积空间的特征
• 1.2.3 与Birkhoff 正交相关的几何概念和几何常数
• 1.3 等腰正交
• 1.3.1 等腰正交的定义和基本性质
• 1.3.2 等腰正交和内积空间的特征
• 1.3.3 与等腰正交相关的几何概念和几何常数
• 1.4 勾股正交的定义与基本性质
• 1.5 正交性之间的关系和内积空间的特征
• 1.6 约定和记法
• 1.7 本文的课题来源及主要内容
• 1.7.1 课题来源
• 1.7.2 主要研究内容
• 第2章 与正交性相关的曲线的若干问题
• 2.1 引言
• 2.2 预备知识
• 2.2.1 与Birkhoff 正交相关的曲线—SB 曲线
• 2.2.2 与等腰正交相关的曲线—SI 曲线
• 2.2.3 与欧式正交相关的曲线—SE 曲线
• 2.3 主要结论
• 2.3.1 既Birkhoff 正交又等腰正交的元存在的一个充分条件
• 2.3.2 既等腰正交又欧式正交的元的存在性
• 2.4 本章小结
• 第3章 具有π/2性质的MINKOWSKI 平面的
• 3.1 引言
• 3.2 预备知识
• 3.2.1 Minkowski 平面
• 3.2.2 Radon 曲线
• 3.2.3 具有π/2性质的空间
• 3.3 主要结论
• 3.4 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读学位期间发表的学术论文
• 致谢