论文摘要
小波分析是当前数学与信息科学中一个迅速发展的新领域,它具有理论深刻和应用广泛的双重意义,为了弥补传统小波的某些不足,提升小波应运而生,其不仅具有通用性和灵活性,而且具有高效的实现方法,因此成为小波领域研究的热点.本文研究了关于提升小波构造的方法,由于提升小波是从双正交小波演化而来的,所以我们从双正交小波谈起,首先提出一种构造双正交小波的方法.本文以理论方法研究为主,并将相关理论成功的应用于信号与图像消噪中.本文所做的工作有:（1）概略地介绍了小波分析的发展历史.为了从传统小波到提升小波的研究工作和将小波变换应用到信号和图像消噪中,详细地阐述了传统小波中的经典理论,多分辨分析和Mallat算法.（2）在小波变换的应用中,小波基选择的好坏,直接决定小波系数的性质,进而决定工作的效果.于是在介绍小波基选取的依据后,详细地分析了对称性和消失矩对紧支集双正交小波构造的影响.得到一种新的结论,即为在构造具有消失矩的小波时,偶数长对称小波的消失矩仅需其奇数阶导数满足要求,奇数长时仅需偶数阶导数满足要求,这样可以节约一半的计算量.（3）依据Lawton条件,并结合传统的消失矩理论,得到一种新的具有消失矩的对称紧支撑双正交小波的构造方法,同时列举滤波长度为8 - 8,消失矩为3 - 3的双正交小波的构造实例.此方法通过求解一个方程组,可以得到含有自由变量的小波系数的关系式,再解决一个线性代数问题,求出自由变量所在的范围,即可构造出双正交多尺度分析. bior3.3小波就可以用此方法构造,且能构造出性质优于bior3.3的小波,将所构造出的小波实例用于图像和信号消噪,仿真结果表明该方法的科学有效.（4）在详细地研究了提升小波和传统小波的关系后,根据传统的双正交小波的构造理论,应用Lawton条件得到一种新的构造紧支集提升小波的方法.同时列举滤波器长度为4 - 4,消失矩为2 - 1的基于提升格式的双正交小波的构造实例,将所构造出的小波实例分别用于信号和图像消噪,发现在滤波器长度相同的前提下,基于提升格式的小波的消噪效果优于普通小波,并且用自适应的方法在已求得的范围内找出达到最佳消噪效果的自由变量的取值.（5）在信号处理的应用背景下研究提升小波的构造方法.在提升小波的构造过程中预测算子和更新算子的选取是关键,人们通常用同一种方法选取预测算子和提升算子,其实它们的选择不能混为一谈.为了更准确地将信号分解成低频分量和高频分量,本文提出更新算子的选取标准是各分量的和等于1/2,并利用最小二乘法选取预测算子,又将构造出的提升小波运用于信号消噪,进一步研究预测算子和更新算子的选取规律,得到了较好的实验效果,验证了结论的正确性和实用性.
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