非线性晶格中的离散呼吸子研究

论文摘要

离散呼吸子是广泛存在于离散非线性系统中的空间局域、时间周期的非线性激发模式。这种激发对非线性系统的性质,其是热学性,有着重要影响。本主究在非线性晶系统的离散呼吸子问题。离散呼吸子的研究主要包括理论和实验两个方。理论研究主要包括离散呼吸子的存在性和稳定性、离散呼吸子的移动性、非线性系统的非指数型热弛豫现的本质和靶能量传输等问题。验研究主要包括约瑟夫森节网络、耦合非线性光波导、光晶格上的玻色-爱因斯坦凝聚、受驱微机械悬臂阵列、反铁磁结构、分子或生物大分子中原子的局域振动等。作为简单的周期离散非线性系统,晶格中的离散呼吸子研究具有重要的理论意义。本文承袭FPU问题,对更为一般和复杂的KG/FPU混合单原子链和双原子链系统进行研究。目前直接针对这个模型的研究极少,因此模型本身具有一定的新颖性。采用推广的旋转平面波近似（ERWA）对系统中精确解的Fourier展开形式进行截断,从而将原子在实空间的运动方程转化为Fourier空间的代数方程。进一步通过大量的数值计算研究系统中的各种非线性系数以及振动频率对系统中的离散呼吸子解及其分量的影响。这种研究思路和角度具有原创性。对于一维KG/FPU混合单原子链,线性谱下带隙或线性谱上带外区域中的离散呼吸子解的对称性主要受三次相互作用非线性势能函数的影响。三次非线性势能函数的存在使系统中的离散呼吸子解具有特定对称性的直流和二阶简谐振动分量。通过对离散呼吸子解的局域化程度和Fourier分量的细致研究显示出在弱非线性情况下,线性谱附近处离散呼吸子解和线性平面波解的相似性和连续性。这与用中心流型定理或变分法证明离散呼吸子的存在性得到的结果相同。同时,这种相似性和连续性为旋转平面波近似、多重尺度法和分离变量法等近似或方法提供了直接的数值证据。对一维KG/FPU混合双原子链的研究得到了一些与单原子链类似的结果。不同的是,双原子链的情况更加的复杂。相同频率的离散呼吸子根据初始条件的不同将具有四种不同的构型。且只有在以轻原子为中心的初始激发中,三次相互作用势能函数才会产生具有奇对称性的直流分量。总的来说,对KG/FPU混合原子链的研究结果具有一般性。通过调控系统势能的各项系数,可以过渡到各种特殊的原子链（如FPU原子链和KG原子链）的情况。文中得到的结果与其他研究者对这些特殊的系统研究的结果具有很好的一致性。不过,本文的方法适用的范围更广,得到的结果也更丰富。根据各非线性势能系数对解的对称性的影响以及不同大小的非线性势能函数对解的影响强度的分布,可以对特定系统中可能存在的离散呼吸子解进行预测。这种预测对理论分析或是数值求解都将带来极大的帮助。同时也为人工设计具有特定性质或功能的新材料、器件提供了理论依据。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 前言
• 1 绪论
• 1.1 理想晶体中的晶格振动
• 1.1.1 晶格的线性振动
• 1.1.2 晶格的非线性振动
• 1.2 本文研究的主要内容及其意义
• 2 离散呼吸子的研究方法
• 2.1 模型
• 2.2 近似方法
• 2.2.1 旋转平面波近似
• 2.2.2 局域非简谐近似
• 2.3 系统分析求解方法
• 2.3.1 反连续极限
• 2.3.2 数值方法
• 2.4 系统中离散呼吸子解的理论分析步骤
• 3 离散呼吸子的性质
• 3.1 离散呼吸子的直观理解
• 3.2 离散呼吸子的存在性及其证明
• 3.2.1 用反连续极限证明离散呼吸子的存在性
• 3.2.2 用变分法证明离散呼吸子的存在性
• 3.2.3 用中心流形定理证明离散呼吸子的存在性
• 3.3 离散呼吸子的稳定性
• 3.3.1 Floquet 分析法
• 3.3.2 带分析法
• 4 一维KG/FPU 混合单原子链中的呼吸子
• 4.1 模型
• 4.2 离散呼吸子的存在性
• 4.3 数值计算
• 4.3.1 推广的旋转平面波近似
• 4.3.2 带隙I 区中的离散呼吸子及各阶非线性作用
• 4.3.3 带上II 区中的离散呼吸子及各阶非线性作用
• 4.4 结论
• 5 一维KG/FPU 混合双原子链中的呼吸子
• 5.1 模型
• 5.2 离散呼吸子的存在性
• 5.3 数值计算
• 5.3.1 推广的旋转平面波近似
• 5.3.2 线性带隙II 区中的离散呼吸子解
• 5.3.3 非线性系数α的作用
• 5.3.4 非线性系数β的作用
• 3的作用'>5.3.5 非线性系数K₃的作用
• 4的作用'>5.3.6 非线性系数K₄的作用
• 5.4 结论
• 6 总结和展望
• 6.1 总结
• 6.2 展望
• 参考文献
• 博士期间发表的论文
• 致谢