一类含有高阶扰动项的广义Fisher方程的行波解

论文摘要

本文研究了一类广义Fisher方程的行波解问题。与经典的Fisher方程相比,这类方程的显著特点在于其中包含了作为小扰动出现的六阶和四阶空间导数项。本文首先应用几何奇异摄动理论结合线性链技巧和Fredholm理论证明了当上述高阶扰动较小时这类方程的行波解的存在性,并探讨了扰动项对于最小波速的影响。特别的,当扰动适当小的时候,此方程最小波速是小于对应的Fisher方程的最小波速,但是却大于相应的四阶方程的最小波速。此外,借助于一类积分变换,本章还给出了行波解的精确的渐近性态,得到了行波解的指数渐近性和次指数渐进性,这一结果在一定程度上丰富了对于行波解的理解。其次,借助于构造适当的能量泛函,还证明了此类行波解在适当的加权函数空间内是局部稳定的。这说明即使对于这类高阶方程,行波解依然是理解其长时间行为的强有力的工具。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 前言
• §1.1 研究背景概述
• §1.2 本文研究的主要问题和相关结果
• 第二章 行波解的存在性和渐近性
• §2.1 预备知识
• §2.2 存在性和最小波速
• §2.2.1 行波解的存在性:粗糙结果
• §2.2.2 最小波速和行波解的精确存在性
• §2.3 行波解的渐近性
• 第三章 行波解的稳定性
• §3.1 预备知识
• §3.2 局部稳定性的证明
• §3.2.1 能量泛函
• §3.2.2 主定理的证明
• 参考文献
• 致谢