论文摘要
本文主要研究几类多重非线性抛物方程（组）奇性解的渐近行为．所讨论的问题包括确定非线性扩散方程组的blow-up临界指标、考查梯度项对非线性抛物方程解的blow-up性质的影响，以及研究带有奇异非线性反应项的抛物问题解的quenching现象等．首先讨论一个具有内部吸收项及耦合边界流的非线性扩散方程组．通过对模型中非线性机制之间相互作用的精确分析，我们确定了其blow-up临界指标．其次考虑含梯度项的非线性抛物模型，探究其中对流项是否并且以何种程度影响解的blow-up行为．最后我们研究有限时刻quenching问题．对于具有耦合吸收项并附加正Dirichlet边界条件的非线性抛物方程组，我们考虑了解的同时与非同时quenching；而对于具有加权非线性吸收的热方程，我们描述了解的quenching时间和quenching集的渐近行为．第一章概述本文所研究问题的实际背景和国内外的发展现状，并简要介绍本文的主要工作．第二章考虑内吸收非线性扩散方程（um）t=△u-a1uα1，（vn）t=△v-a2vβ1经由边界流（?）耦合的初边值问题．通过引入特征代数方程组以及对所有八个非线性指标的完全分类，我们得到对该问题blow-up临界指标的简明而清晰的刻画．由于所考虑模型的一般性，这一工作包含了关于blow-up临界指标的许多已有结果．与单个方程结果的比较可见耦合机制对blow-up临界指标的本质性影响．第三章致力于含梯度项的非线性抛物方程解的blow-up分析，其目的在于研究梯度项对解的渐近行为的影响．对于具有内部吸收项及正性梯度项的半线性抛物方程ut=△u+|▽u|r-aepu,附加边界条件（?）的初边值问题，我们证明当且仅当r≥2时，梯度项对blow-up的形成起本质作用．进一步，当r>2时，对流项还将显著影响blow-up速率，并且使得blow-up速率具有关于模型参数的不连续性（discontinuous）．然而，梯度项对空间blow-up profile并无本质性影响．对非线性扩散方程wt=(e（m-1）w)xx-λe（p-1）w附加Neumann边界条件wx（0，t）=0，wx（1，t）=e（q-m）w（1,t）的初边值问题，利用scaling方法，我们建立了解的blow-up速率估计．通过适当变换，该方程等价于一含对流项的多孔介质类型方程．虽然此模型中的对流项不改变解的blow-up速率，但它给问题的讨论带来一定的困难．第四章研究有限时刻quenching问题，包括非线性抛物方程组ut=△u-v-p，vt=△u-u-q，（x，t）∈Ω×（0，T）具有正Dirichlet边界条件的初边值问题，以及带有加权非线性吸收的热方程ut=uxx-Mf（x）u-p,（x，t）∈（-1，1）×（0，T）附加边界条件u（-1，t）=u（1，t）=1和初值φ（x）的模型．对于前一问题，我们建立了Ω=BR径向解的非同时quenching准则：当p，q≥1时quenching必为同时，当p<1≤q或q<1≤p时必为非同时；若p，q<1且R>（?），则quenching依赖于初值既可能同时也可能非同时．需要提及的是，在对共存性结果的证明中，我们工作的新意在于恰当地定义一个初值集合以使quenching解具有某些一致下界估计．对于后一问题，我们利用局部能量估计方法，得到当M→+∞时解的quenching时间与quenching集的渐近性态．我们有，当M-→+∞时，quenching时间T～（m/（p+1））·1/M，其中m=（?）；并且当M充分大时，quenching点将集中于f／φp+1的最大值点．
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