一类刚性非自治系统的组合解法

论文摘要

刚性微分方程常出现于航空、航天、热核反应、自动控制、电子网络及化学动力学等一系列与国防和现代化建设紧密相关的高科技领域,具有勿庸置疑的重要性。偏微分方程初边值问题关于空间变量离散化而转化为大规模常微分方程组是产生刚性的一个重要源泉。 对于刚性线性稳定性的主要理论有A-稳定（Dahlquist,1963）、A（α）-稳定（Widlund,1967）及刚性稳定（Gear,1969）,80—90年代国内也有一些学者研究过线性理论,主要有匡蛟勋,陈果良,项家祥,李寿佛,黄乘明,李庆扬,费景高,等。 对于非线性刚性问题的研究,1975-1979年,Butcher和Burrage建立了Runge-Kutta方法的B-稳定及代数稳定理论（见[17][19][21～23]等）,1981-1985年,Frank,Schneid和Ueberhuber建立了Runge-Kutta方法的B-收敛理论（见[14][15]等）。国内也有着众多的学者致力于B理论的研究（见[8～10]等）,但是非线性刚性问题的收敛性研究远没有达到定量收敛分析的理想目标。近年来,人们的注意力越来越多的转向远为广泛的一般多值方法,混合方法是近年广为流行的一种,而且为提升刚性系统的计算速度,很多学者采用并行算法（见[2][9][20]等）,Merson,Butcher,Hairer和Wanner等人发明了根数理论（见[4][5][6]等）,本文运用根数理论,综合混合与并行算法提出了组合RK-Rosenbrock方法并行实现某类刚性非自治系统的数值解,本文是陈丽蓉教授组合RK-Rosenbrock方法的发展,文[1][2][3]详述了刚性自治大系统的组合RK-Rosenbrock方法。 文章第一部分简要介绍前人的根数理论:第二部分给出组合RK-Rosenbrock方法,并讨论其阶条件;本文第三部分考查刚性部分A-稳定意义下的条件;第四部分给出该组合方法的收敛性定理及稳定性条件;第五部分给出具体数值例子和计算结果及结果分析;附录一并附上算法的具体程序,它是理论付诸实践的主要结果。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 引言
• 第一章 准备知识
• 第二章 组合RK-Rosenbrock方法
• §2.1 组合RK-Rosenbrock公式
• §2.2 P-级数求阶条件方程
• §2.3 根树理论求Φ
• 第三章 刚性部分A-稳定条件
• §3.1 1阶RK-Rosenbrock方法刚性部分稳定性条件
• §3.2 2阶RK-Rosenbrock方法刚性部分稳定性条件
• §3.3 3阶RK-Rosenbrock方法刚性部分稳定性条件
• §3.4 4阶RK-Rosenbrock方法刚性部分稳定性条件
• 第四章 组合RK-Rosenbrock方法的收敛性和稳定性
• §4.1 方法的收敛性
• §4.2 方法的稳定性
• 第五章 应用举例
• §5.1 选取参数
• §5.2 算法流程
• §5.3 例子
• §5.4 试验结果与分析
• 参考文献
• 附录1：投稿及待刊论文
• 附录2：程序文件
• 致谢