论文摘要
在许多工程结构或构件的分析中,如建筑物筏形基础、水闸、机场跑道、公路刚性路面、船坞底板等,往往都能概括为弹性地基上的板及其组合结构的分析与计算。弹性地基上板的分析是土-结构两种介质共同作用的问题,特别是弹性地基上四边自由矩形板的弯曲问题,长期以来都被认为是经典板理论中的难题。弹性力学问题通常可以采用两种数学描述方法,即微分方程的边值问题和泛函的极值问题,本文所述弹性地基上的四边自由矩形板采用了这两种方法求解。这两种方法中,直接对微分方程的求解常常很困难,而从泛函的变分求近似解,通常较为容易。本文根据土-结构共同作用理论、Kirchhoff薄板理论、基于最小势能原理的瑞利-里兹（Rayleigh-Ritz）法以及分析解析解的组成特点,先将弹性地基上四边自由矩形板的的弯曲问题转换为用挠度函数表达的能量函数,求解能量函数泛函的极值问题。选取了满足全部力边界条件和自由角点条件的挠度试函数作为变分解,计算弹性地基上四边自由矩形板的变形及内力,并用PKPM有限元软件计算结果对试函数作收敛性、叠加性判断,对试函数的计算结果进行精度分析。进而通过数值算例,证明此挠度试函数变分解具有叠加性,能得到精度很高的挠度变形结果。此变分解法理论清晰、解法简单（仅含两个未知数）具有较广泛的实际工程应用前景。由此得到的挠度试函数表达式是以板上坐标点x、y的取值作为变量的显函数。此挠度函数表达式不仅可以计算板的静力问题,还可进一步作为研究板的自由振动和稳定问题的数学模型。同时,通过数值算例我们发现由于瑞利-里兹法为近似计算方法,试解函数仅仅是容许函数中的一部分,因此泛函的极值仅仅是局部的,而非全局的。所以得到的试解函数为近似解、加之内力计算结果为挠度试函数的二阶微分,导致在集中力作用点附近小范围面积内,内力计算结果与有限元计算结果有一定差距。但因本文所选取的挠度试函数已满足边界力条件,所以离板边界越近内力计算结果与有限元计算结果越接近。最后,利用美国混凝土协会（ACI）推荐的近似弹性板法,把弹性地基上四边自由矩形板的弯曲问题,变换为弹性力学中极坐标下的轴对称问题,直接求解弯曲微分控制方程的边值问题。由此方法得到的在集中力作用点附近小范围面积内的内力计算结果与有限元结果接近。