论文摘要
本文在非标准扩大模型下，给出了拓扑的非标准定义，并在此基础上对拓扑空间的多种概念、结论进行了描述和刻画，从非标准非析的角度研究和发展了拓扑空间的原有结论。一方面，这种新的定义与一般的拓扑定义一致的；另一方面，这种新的定义方法给出了研究拓扑的一种途径，简化拓扑空间中原有的概念、结论，使它们的本质性质更为清晰。在第一部分里，我们首先对非标准分析理论进行了简单的概述，通过对非标准分析理论中的公理的描述，给出了公理化的非标准分析理论，其次，讨论了非标准模型的简单性质，如传递性，布尔代数运算性质等。最后，讨论了非标准扩大模型，并给出了非标准扩大模型的若干充要条件及结论。第二部分，我们给出了拓扑的非标准定义，并证明了这种新的定义方法与标准的定义方法是等价的，在此基础上，分别给出拓扑空间的邻域，单子，聚点、闭集等概念的定义。这将是本文的主要工具。本文接下来的章节里分别给出了拓扑空间的分离公理，紧性，Moore-Smith收敛，连续函数的非标准定义，并利用这些结果证明了一些相关的定理和结论。通过本文的研究不但使拓扑学中原有概念，结论更加简洁，而且丰富了非标准分析理论的应用领域。