若干非线性问题的近似相似约化和同伦近似相似约化

论文摘要

本文以对称理论为基本工具,主要研究了一些非线性微分方程的近似相似约化和同伦近似相似约化。第一章回顾了对称理论、摄动理论与同伦分析法的理论背景和发展状况,本文所有工作都基于这些理论的推广或结合。第二章介绍了对称理论的几种基本方法—经典与非经典李群法、李对称方法和直接约化法,并且应用李对称方法求解二维不可压缩Navier-Stokes方程,重新得到了楼森岳教授等求出的刻画台风的特解。第三章利用近似对称约化法求解KdV-Burgers方程、奇异扰动Boussinesq方程和二维不可压缩Navier-Stokes方程,受近似对称约化法启发,我们提出近似直接约化法并且应用于扰动mKdV方程以及奇异扰动Boussinesq方程。两种方法统称为近似相似约化法,并且均得到以前未曾得到的结果:各阶相似约化解和相似约化方程均可以归纳出通式,由此导出级数约化解。零阶相似约化方程是无扰动微分方程的相似约化方程,高阶相似解可以通过求解线性变系数常微分方程得到。近似直接约化法得到的结果多于近似对称约化法。在第四章,我们提出同伦近似对称约化法并且用于求解KdV-Burgers方程和六阶Boussinesq方程,提出同伦近似直接约化法并且用于求解扰动mKdV方程。两种方法统称为同伦近似相似约化法,而且同伦模型的各阶相似约化解和相似约化方程均具有通式,由此导出同伦级数约化解。零阶相似约化方程是同伦参数取零时同伦模型的相似约化方程,高阶相似解可以通过求解线性变系数常微分方程得到。跟近似相似约化法相比,同伦近似相似约化法具有三个优点:1)近似对称约化法和近似直接约化法的结果可以分别由同伦近似对称约化法和同伦近似直接约化法重新得到,2)同伦近似对称约化级数解的收敛性可以由辅助参数来调节,3)同伦近似相似约化法适用于无扰动微分方程。最后一章是对全文的总结和讨论,概括了近似相似约化法和同伦近似相似约化法的优点和不足之处,以及发展前景的展望。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 目录
• 插图索引
• 第一章 绪论
• 1.1 对称理论
• 1.2 摄动理论
• 1.3 同伦分析方法
• 1.4 本文的选题和主要工作
• 第二章 对称约化
• 2.1 对称约化的基本方法简介
• 2.1.1 经典李群法
• 2.1.2 非经典李群法
• 2.1.3 李对称方法
• 2.1.4 直接约化法
• 2.2 利用李对称方法约化二维不可压缩Navier-Stokes方程
• 2.2.1 第一种约化类型
• 2.2.2 第二种约化类型
• 2.2.3 第三种约化类型
• 第三章 近似相似约化
• 3.1 近似对称约化
• 3.1.1 弱扩散KdV-Burgers方程
• 3.1.2 弱色散KdV-Burgers方程
• 3.1.3 奇异扰动Boussinesq方程
• 3.1.4 二维不可压缩Navier-Stokes方程
• 3.2 近似直接约化
• 3.2.1 扰动m KdV方程
• 3.2.2 奇异扰动Boussinesq方程
• 3.3 本章讨论与小结
• 第四章 同伦近似相似约化
• 4.1 同伦近似相似约化简介
• 4.2 同伦近似对称约化
• 4.2.1 零阶近似方程为KdV方程时的KdV-Burgers方程
• 4.2.2 零阶近似方程为Burgers方程时的KdV-Burgers方程
• 4.2.3 六阶Boussinesq方程
• 4.3 同伦近似直接约化
• 4.3.1 扰动m KdV方程
• 4.4 本章讨论与小结
• 第五章 总结、讨论和展望
• 参考文献
• 致谢
• 攻读学位期间发表的学术论文目录
• 上海交通大学学位论文答辩决议书