论文摘要
本文主要考虑的是经典压缩感知问题：即从一些（可能带噪音）的线性测量中恢复一个稀疏信号,也就是说,我们有这样一个线性测量：b=Af+e这里,f是我们要恢复的稀疏信号,A∈RM×N（M《N）是一个已知的列比行多的测量矩阵,e是测量噪声,b是我们得到的测量值。本文感兴趣的是怎么样通过测量b来恢复信号f。首先,我们提出了lq迭代支撑检测算法来恢复信号。与经典的lq。极小化算法相比,它保证一定运行速度的前提下,减少了测量次数。lq迭代支撑检测算法是迭代支撑检测算法从l1到lq的推广。我们的实验结果证lq迭代支撑检测算法的相对误差远小于lq极小化算法。其次,我们研究的是基于对偶框架的l1分解算法来恢复信号,这类信号本身并不稀疏,但它在一般的框架下表示下是稀疏的。经典的分析结果说明,当测量矩阵是高斯随机矩阵时,在高概率意义下最优的测量次数可以恢复这样一类信号。但对于Weilbull随机矩阵（即矩阵的每个元素是独立对称并且指数大于1的Weibull随机变量）,因为其在最优测量次数下不满足限制同构性质,故经典结果里需要比最优测量次数更多才能恢复信号。而我们的结论是当测量矩阵是Weibull随机矩阵时,在高概率意义下最优的测量次数可以恢复这样一类信号。我们的结论基于Foucart[54]以及对偶框架的参数化表示[66]。我们的结果对于利用分解模型做信号恢复研究有重要意义。最后,我们研究利用贪婪算法来来恢复冗余基信号,即信号本身并不稀疏,但它在一组冗余字典下有稀疏的表示。贪婪算法有速度快的优势。我们提出的算法是信号空间硬阈值追踪算法。经典的信号空间压缩采样匹配追踪算法,它是文献中经典的压缩采样匹配追踪算法的变体,除了漂亮的理论保证之外,在实践中的表现也可圈可点。而我们的算法继承了硬阈值追踪算法的思想,在数值表现上不论是准确性还是速度上都超越了信号空间压缩采样匹配追踪算法。以上的研究内容是经典的压缩感知问题,即目标是恢复一个稀疏信号。而在实际问题中,我们遇到的多数问题不仅仅局限于信号恢复。本文研究的是在压缩感知系统中检测并恢复1稀疏信号的问题。与经典压缩感知检测问题不同,我们的目标是检测一个1稀疏信号是否为零,并且能同时恢复信号的支撑。对于有噪声的测量,我们根据不同的情况设计了最优的法则。我们的结论是当测量矩阵满足限制同构性质时,满足一定的信噪比以及较少的测量数就可以保证法则判断错误的概率随着信号维数增大而趋向于零。同时,仿真实验证实我们的方法在效果上与传统采样检测的表现类似。