磁Schr(?)dinger方程解的零点集以及Landau-de Gennes泛函极小的部分正则性

磁Schr(?)dinger方程解的零点集以及Landau-de Gennes泛函极小的部分正则性

论文摘要

液晶和超导的技术在现代物理中有着广泛的运用.以超导为例,它可以用于能源、医疗、信息、国防等诸多方面.在现实生活中,最常见的液晶是作为传递信息的工具——液晶显示,它提供了人与机器对话的平台.相信在未来的时问里,液晶和超导的研究仍然是物理学家和数学家所关注的焦点.在超导的数学理论研究中,我们考虑磁Schrodinger方程:在Ω中,其解ψ的结点集N(ψ)的情况.在超导物理学中,N(ψ)被称为涡旋集.在该点处超导体有磁场穿过,失去超导性.对N(ψ)的研究有助于了解涡旋集的性质.众所周知,有关结点集N(ψ)的研究难点主要集中在临界集S(ψ)上面.故首先,在边界条件:VAψ·v=0下,我们对磁Schrodinger方程解的临界集建立了整体的1维Hausdorff测度估计.这与之前有关临界集的Hausdorff测度研究的情形有所不同.在我们的问题中,方程解是复函数而非实函数;其二,我们考虑的方程是带有磁Schrodinger算子;第三,我们能将估计做到整个区域上,而非局部的估计.其次,我们来研究N(ψ)的情况.由于ψ是复值函数,故N(ψ)的几何结构往往很复杂,可能为孤立点、曲线、甚至曲面.面对此问题,我们选择对ψ附加了“拟共形映射”的条件.证明了在该条件下,ψ的结点集N(ψ)是1维可数可求长的,并且其1维Hausdorff测度是有界的.为了能获得有关结点集的更多信息,下面我们从拓扑的角度来研究方程解的复杂性.即考虑结点集的拓扑性质——Betti数J. Milnor([53])曾对多项式结点集的Betti数总和给出了一个上界估计.而对于一般的二阶椭圆型方程的情况,目前尚无结果.我们证明了对一般的二阶椭圆方程的解u,其结点集N(u)的Betti数总和是有界的.通过Betti数的研究,本质地揭示了结点集的几何特征,也使我们对结点集的几何结构有进一步的了解.在液晶的数学理论研究中.Landau-de Gennes模型是描述液晶相变过程的重要模型之一.这里我们主要考虑Landau-de Gennes泛函的一个简化形式:建立了非平凡极小元(Ψ,n)的部分正则性结果,即在Ω中除去一个1维Hausdorff测度为0的相对闭集之后,(Ψ,n)是解析的.它的研究与Oseen-Frank泛函的情形不同:其一,我们研究的Landau-de Gennes泛函是两个变量的泛函,并且我们将序参数Ψ视为一个独立于向量场n的变量.另外,我们研究的泛函中包含了与Oseen-Frank泛函不同的能量项,因此,它将给的定理的证明带来一定的复杂性.通过部分正则性的研究,使我们对液晶的物理性质有了更加深入的了解.

论文目录

  • 摘要
  • Abstract
  • 目录
  • 第一章 引言
  • 第二章 磁Schrodinger方程解的零点集
  • 2.1 磁Schrodinger方程解的临界集的Hausdorff测度估计
  • 2.1.1 问题的提出
  • 2.1.2 ψ的一些性质定理
  • 2.1.3 S(ψ)的局部Hausdorff测度估计
  • 2.1.4 在Neumann边界条件下的整体Hausdorff测度估计
  • 2.1.5 定理2.1的证明
  • 2.2 磁Schrodinger方程解的结点集的Hausdorff测度估计
  • 2.2.1 问题的提出
  • 2.2.2 ψ的性质定理与N(ψ)的几何结构
  • 2.2.3 定理2.11的证明
  • 2.3 二阶椭圆型方程解的结点集的Betti数估计
  • 2.3.1 问题的提出
  • 2.3.2 有用的引理
  • 2.3.3 稳定性结果
  • 2.3.4 定理2.15的证明
  • 第三章 Landau—de Gennes泛函极小的部分正则性
  • 3.1 问题的提出
  • 3.2 准备工作
  • 3.2.1 Euler-Lagrange方程
  • 3.2.2 尺度变化下的极小元
  • 3.3 极小元(Ψ,n)的部分正则性
  • 3.3.1 blow-up序列及blow-up方程
  • 3.3.2 能量不等式
  • 3.3.3 定理3.1的证明
  • 第四章 总结与展望
  • 发表文章目录
  • 参考文献
  • 致谢
  • 相关论文文献

    • [1].一类扩张Schrdinger-Virasoro代数的泛中心扩张与表示(英文)[J]. 黑龙江大学自然科学学报 2011(04)
    • [2].双扩张Schrdinger-Virasoro代数的导子代数与自同构群[J]. 温州大学学报(自然科学版) 2011(06)
    • [3].广义扭Schrdinger-Virasoro代数的自同构群[J]. 厦门大学学报(自然科学版) 2010(04)
    • [4].一类非线性Schrdinger-Kirchhoff系统非平凡解的存在性[J]. 太原师范学院学报(自然科学版) 2015(04)
    • [5].一类非线性Schrdinger-Kirchhoff系统非平凡解的存在性[J]. 山西师范大学学报(自然科学版) 2016(01)
    • [6].带势非线性Schrdinger方程爆破解的集中性质[J]. 应用数学学报 2016(06)
    • [7].非均匀非线性Schrdinger方程的奇异波和孤子解[J]. 黑龙江大学自然科学学报 2017(02)
    • [8].不稳定非线性Schr■dinger方程新精确解[J]. 南昌大学学报(理科版) 2020(01)
    • [9].求解耗散Schrdinger方程的一个无条件收敛的线性化紧致差分格式[J]. 应用数学学报 2017(01)
    • [10].非线性Schrdinger方程的对称约化和精确解[J]. 贵州大学学报(自然科学版) 2016(06)
    • [11].非线性Schrdinger方程初值问题中散射数据的计算方法[J]. 湘潭大学自然科学学报 2017(01)
    • [12].一类二阶非线性Schrdinger方程的孤子解[J]. 滨州学院学报 2016(02)
    • [13].具有梯度项的Schrdinger型拟线性椭圆型方程组的全空间解的存在性[J]. 数学的实践与认识 2014(01)
    • [14].Schrdinger-KdV方程的守恒律[J]. 江西师范大学学报(自然科学版) 2012(05)
    • [15].二维空间中一类非线性Schrdinger方程爆破解的集中性质[J]. 四川师范大学学报(自然科学版) 2010(06)
    • [16].非线性Schrdinger方程差分格式的计算稳定性[J]. 南京信息工程大学学报(自然科学版) 2010(06)
    • [17].(2+1)维非线性Schrdinger型方程的同宿轨道[J]. 应用数学和力学 2008(10)
    • [18].带五次项的非线性Schrdinger方程的一个紧致差分格式[J]. 江苏师范大学学报(自然科学版) 2014(02)
    • [19].耦合的Schrdinger-kdv方程组的精确解[J]. 绵阳师范学院学报 2013(02)
    • [20].非线性Schrdinger方程的一个线性化紧致差分格式[J]. 南京信息工程大学学报(自然科学版) 2012(06)
    • [21].变系数非线性Schrdinger方程的孤子解及其相互作用[J]. 物理学报 2011(06)
    • [22].课堂教学实施“多电子原子的Schrdinger方程及其近似解”的课堂教学实施[J]. 四川文理学院学报 2011(05)
    • [23].一类带导数项的非线性Schrdinger方程整体解存在的最佳条件[J]. 四川师范大学学报(自然科学版) 2009(01)
    • [24].一类具非齐次项的非线性Schrdinger方程整体解存在的最佳条件[J]. 应用数学学报 2009(02)
    • [25].一类非线性Schrdinger方程的整体解和自相似解[J]. 系统科学与数学 2008(06)
    • [26].广义Schrdinger扰动耦合系统孤子解[J]. 应用数学和力学 2016(03)
    • [27].高阶Schrdinger方程在模空间中的适定性[J]. 数学学报 2014(04)
    • [28].带有时间振荡项的非线性Schrdinger方程爆破解的渐近波形[J]. 兰州大学学报(自然科学版) 2013(04)
    • [29].关于“schrdinger场”二次量子化过程逻辑自洽性的研究[J]. 渤海大学学报(自然科学版) 2012(03)
    • [30].求解非线性Schrdinger方程的一个线性化紧致差分格式[J]. 数值计算与计算机应用 2012(04)

    标签:;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  

    磁Schr(?)dinger方程解的零点集以及Landau-de Gennes泛函极小的部分正则性
    下载Doc文档

    猜你喜欢