基于分块插值多项式的二维第二类Fredholm积分方程的快速解法

论文摘要

在本文中，我们提出一种求解核函数光滑的二维第二类Fredholm积分方程f（x，y）-integral formαtoβintegral formαtoβ（a（x，y，u，v）f（u，v）dudv）=g（x，y），（x，y）∈[α，β]×[α，β]的数值解快速算法，其中a（x，y，u，v）是光滑函数，而g（x，y）在L2[α，β]2中。用数值积分方法离散积分方程，可得线性方程组（I-AWt）f=g其中I是单位矩阵，A=[A（i，j）]i，j=1N，A（i，j）=[a（xi，xk，xj，xl）]k，l=1N，α≤x1＜x2＜…＜xN≤β是离散节点，而Wt是取决于所用数值积分方法的对角矩阵。我们考虑四个变量的函数的插值：把区域[α，β]4分成相同的子区域，在每个子区域上核函数a（x，y，u，v）用插值多项式进行逼近，在插值多项式逼近的基础上导出矩阵-向量相乘的快速算法，并构造有效的预处理算子。因此，可以用诸如剩余向量校正（RC）等预处理迭代方法，快速地求解积分方程。我们接着分析逼近的误差和迭代方法的收敛性。可以证明逼近的精度达到O(（mn）-klog4n)，其中n是用于逼近的插值多项式的阶数，m是在每个方向上分的块数，而k显示着核函数的光滑程度。我们还讨论了算法的存贮要求和每步迭代所需要的计算量。我们构造矩阵A的两个逼近矩阵Aa和Ba（计算量都是O（N2））并使用如下的迭代方法（I-BaWt）f（q+1）=（Aa-Ba）Wtf（q）+g，q=0，1，2，…我们证明矩阵-向量乘法Aay和求解（I-BaW）r=y都只要O（N2）的计算量。这样每次迭代的计算量也为O（N2）。存贮量大约为O（N2），与A的元素个数的平方根成正比。最后，我们用数值例子来展示算法的效率和精度。

论文目录

• ABSTRACT
• 中文摘要
• PREFACE
• CHAPTER 1 Introduction and Background
• 1.1 Basic Concepts of Integral Equation and Related Theorems of Numerical Quadrature
• 1.1.1 Basic Concepts of Integral Equation
• 1.1.2 Related Theorems about Numerical Quadrature
• 1.2 Introduction on Iterative Methods for Linear Systems
• 1.3 Approximation Matrices
• 1.4 Recent Development of Fast Algorithms
• CHAPTER 2 A Fast Numerical Solution Method
• 2.1 Interpolation of Multi-variable Functions
• 2.1.1 Interpolation
• 2.1.2 The Piece-Wise Polynomial Interpolation
• 2.1.3 Error Estimation
• 2.2 Fast Algorithms for Integral Equations
• 2.2.1 The Construction of Approximation Matrix
• 2.2.2 Implementation and Complexity Analysis
• 2.3 Numerical Examples
• 2.4 Concluding Remarks
• REFERENCES
• ACKNOWLEDGEMENTS