带有双可动边界条件的一维分数阶微分方程的某些结果及其应用

论文摘要

本文由彼此相关而又独立的三章组成。第一章为预备知识，简要的介绍了本文所需要的数学工具，即分数阶微积分的基本概念、性质及常用的特殊函数。在第一节中，简要介绍了分数阶微积分的发展历史及其最近的应用。给出了Riemann-Liouville型分数阶微积分算子（?），（?）和Caputo型分数阶微积分算子（?），（?）的定义，并且给出分数阶微积分理论中常常用到的性质和公式。在第二节中，简要介绍了在解微分方程中需要用到积分变换的知识。在第三节中，简要介绍了在分数阶微分方程中占有重要地位的特殊函数，特别是给出了广义Mittag-Leffler函数Eα，β（z），Wright函数以及H-Fox函数Hp,qm,n（z）的定义及其某些重要公式。第二章应用分数阶微分积分理论在一维空间的数学模型，描述了一个可扩散药物从可溶锯基质中释放的过程。假定药物承载在药物基质中，此基质可以被溶剂溶解，这样，当溶剂进入药物，基质就会被溶解。这种现象将在药物控释问题中出现两个可动边界：腐蚀性边界和扩散边界，这就是我们称之为双可动边界问题。由于可动边界的出现将在扩散方程中出现非线性项，增加了我们解决此类问题的难度，只有少数几种特殊情况有精确解。在第二章第一节中简要介绍药物控释中可动边界问题的历史与现状。在第二节中说明有了分数阶微积分理论的加入可以更好地描述超长扩散模型，本文对Fick扩散定律进行推广，在完全汇条件下（perfect sink condition）建立了一类用分数阶可动边界问题微分方程描述的数学模型。第三节，分析了药物从可缓慢溶解的基质中释放的双可动边界问题，并且使用双参数摄动法对此非线性问题进行了求解，得出了带有腐蚀性边界被缓慢溶解的双可动边界由Wright函数表示的无量纲近似解：θ（y，t；η，ε） =θ0（y，t）+θ1（y，t）η+θ2（y，t）ε+…．其中θ0（y,t）=H0[1-W(-y/tα/2;-α/2,1)],θ1（y,t）=πH0/2yt1-αW(-y/tα/2;-α/2,2-α) +πh0/2t1-α/2W(-y/tα/2;-α/2,2-α)θ2（y,t）=πH0/2yt1-αW(-y/tα/2;-α/2,2-α) +πH0/2t1-α/2W(-y/tα/2；-α/2,2-α/2)在第四节中对于该近似解做出了一定的分析说明。第三章是本文的总结部分，说明了分数阶微积分在可动边界问题中的指导作用以及本文的意义．

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 符号说明
• 第一章 基本知识
• 1.1 分数阶微积分（Fractional Calculus,FC）的简介
• 1.2 关于积分变换的简介
• 1.3 关于特殊函数的简介
• 第二章 分数阶可动边界问题模型的建立和求解
• 2.1 整数阶可动边界问题的历史研究和现状
• 2.2 分数阶可动边界模型的建立和假设条件
• 2.3 主控方程的求解
• 2.4 计算结果的讨论
• 第三章 结论
• 参考文献
• 致谢
• 学位论文评阅及答辩情况表