一类新度量下的Delaunay三角形网格的生成及应用

论文摘要

非结构化网格被广泛地应用到许多科学和工程的数值计算过程中。Delaunay三角形化方法是生成非结构化网格的重要方法之一。这种方法生成的三角形网格具有以下特点:（1）所形成的三角形互不重叠;（2）所形成的三角形可以覆盖整个平面;（3）每个三角形的外接圆不包含其他节点在内。很多学者对于基于Delaunay三角形网格的生成及其应用有很多的研究,但通过变换距离度量,应用Delaunay三角形化方法生成网格的研究还相对较少。应用网格求解椭圆型方程时,三角形线性有限元逼近,L2范数下,最优全局误差阶是O（h2）,h为网格尺寸,一般情况下,此收敛阶不能提高,在求解带Dirichlet边界条件的Possion方程问题,如果剖分网格单元为等边三角形,则在节点处有限元解误差收敛阶O（h4）,这个结果比最优全局误差阶高2阶,此结论被Blum,Lin,Ranacher证明。如果选择合适的网格,我们进一步分析二阶椭圆偏微分方程的有限元超收敛。本文中我们所做主要工作如下:第一,用Delaunay三角形化方法生成非结构化网格的关键是距离度量,在Delaunay三角形化过程中,变换距离度量,在新的距离度量下产生Delaunay三角形网格。并将其应用于求解二阶椭圆偏微分方程。第二,对二阶椭圆方程,用化标准型的方法,得到线性变换矩阵T,等边三角形剖分单元τ在相应的逆变换T-1作用下变换成另一个三角形单元τ′,用单元分析法对二阶椭圆方程进行有限元分析时,三角形单元τ′一致网格剖分,在节点处有限元解也有超收敛阶O（h4）。数值实验验证了我们的结论。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 引言
• 第二章 预备知识
• 2.1 基本记号
• 2.2 有限元理论
• 第三章 一类新度量下的Delaunay三角形网格的生成算法程序设计及数值实验
• 3.1 Delaunay三角形化的方法
• 3.2 Delaunay三角形初始化
• 3.3 一种新距离度量
• 3.4 新度量下的Delaunay三角形网格的生成算法
• 3.5 数值实验
• 第四章 二阶椭圆方程的有限元收敛分析
• 4.1 方程的离散
• 4.2 收敛分析
• 4.3 数值算例
• 结论与展望
• 参考文献
• 致谢
• 附录 参与课题