几类非线性偏微分方程非平凡解的存在性

论文摘要

变分方法是非线性泛函分析最重要的方法之一.它的基本思想是把非线性算子方程的求解问题归结为相应的泛函临界点问题,在数学、物理、化学、生物、经济、科学工程等领域中都有重要且广泛的应用.本文我们使用变分方法研究具有重要的应用背景的几类非线性Schrodinger方程非平凡解的存在性问题.全文共五章,第一章为绪论,第二章是预备知识,后三章是本文的主要结果.第三章,我们讨论以量子力学为背景的一类非线性Schrodinger方程正解的存在性.具体来说,考虑如下方程其中ε>0是小参数,V（x）,K（x）∈C（RN,R+）,f（u）∈C（R,R）通过对（1）的非线性项f（u）作惩罚得到相应的惩罚方程,然后利用山路引理证明该惩罚方程存在基态解,并给出基态解的衰减性估计.最后通过比较原理证明了（1）存在非平凡解.第四章,我们讨论如下一类非线性Schrodinger方程组其中ε>0为小参数,b>0为常数.对势函数V（x）,W（x）分别为恒正和非负两种情形,我们利用惩罚函数法得到方程组（2）非平凡解的存在性以及解的衰减性估计.第五章,我们使用单调性技巧和弱环绕定理证明了如下一类非合作椭圆方程组基态解的存在性.

论文目录

• 中文摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 相关的物理背景
• 1.1.1 非线性Schrodinger方程
• 1.1.2 耦合非线性Schrodinger方程
• 1.2 已有结果的综述
• 1.3 本文主要工作
• 第二章 预备知识
• 第三章 一类半经典Schrodinger方程正解的存在性
• 3.1 预备引理及证明
• 3.2 主要结果及证明
• 第四章 一类耦合非线性Schrodinger方程非平凡解的存在性
• 4.1 具有正势的方程组（4.1）非平凡解的存在性
• 4.1.1 预备引理及证明
• 4.1.2 主要结果及证明
• 4.2 具有零势的方程组（4.1）非平凡解的存在性
• 4.2.1 预备引理及证明
• 4.2.2 主要结果及证明
• 第五章 一类非合作椭圆方程非平凡解的存在性
• 5.1 引言
• 5.2 假设条件及引理
• 5.3 主要结果及证明
• 参考文献
• 攻读学位期间发表的学术论文及取得的科研成果
• 致谢