Bent函数的性质与构造

论文摘要

在密码体制中,密钥流生成器中非线性组合函数中的设计对密码体制的安全起着关键作用。根据相应需求,密码设计者设计了种类特殊的非线性组合函数,来抵抗相应的攻击,如Bent函数是Rothaus为抵抗差分攻击而提出的。Bent函数不仅在密码学中,在其它领域如展频通信、并元理论、编码理论也有重要的应用。 本文主要利用布尔函数的循环Walsh谱、重量的方法讨论了Bent函数的密码学性质,取得了一些研究成果,主要包括如下几个方面。 1.本文利用简单的数论知识及布尔函数的自相关谱、循环谱的关系,给出了当n为偶数时,n元布尔函数是Bent函数的几个充分必要条件。 2.利用布尔函数中的恒等式给出了一系列布尔函数的谱分解式,据此给出了Bent函数的一些递归构造。 3.讨论了形如f（x+τ（y））+g（y）的布尔函数是Bent函数的充分必要条件,在此基础上利用Bent函数的循环Walsh谱及谱分解式,进一步给出了当q（y）不是平衡函数时,形如F（x,y）=f（x+τ（y））q（y）+g（y）布尔函数是Bent函数的充分必要条件。同时证明了代数次数为2的n元Bent函数都与x1x2+…+xn-1xn线性等价,并给出了Bent函数的一系列的构造方法。 4.研究了形如F（x1,…,xm,y1…,yn）=τ（y）·x+g（y）的布尔函数是Bent函数的充分必要条件,该结论进一步推广了Rotuaus的关于Bent函数的构造方法。并对n-m=2的情形,给出了该构造法F(x1,…,xm,y1,…,yn=τ（y）·x+g（y）的一个计数,较大地提高了Bent函数的计数下界。 5.李世取给出了部分Bent函数与Bent函数的关系,因而对Bent函数的性质、构造、计数进行研究,就可转化为对部分Bent函数的研究。本文从另外一个角度继续研究了部分Bent函数的推广—k阶拟Bent函数与Bent函数的关系,得出了任何Bent函数都可由k阶拟Bent函数构造。给出了Bent侣函数族的构造、k阶拟Bent函数的构造、Bent序列的构造。

论文目录

• 摘要（Abstract）
• 第一章 绪言
• §1.1 Bent函数的发展背景
• §1.2 主要研究成果
• §1.3 论文的章节安排
• 第二章 基本概念和结论
• §2.1 定义及其基本性质
• §2.2 Bent函数的基本性质
• §2.3 Bent函数的典型构造
• 第三章 Bent函数的性质与构造
• §3.1 Bent函数的判定
• §3.2 利用布尔函数的谱分解式构造Bent函数
• §3.3 形如F（x，y）=f（x+τ（y））q（y）+g（y）的Bent函数的判定与构造
• §3.4 Bent函数的计数及与k阶拟Bent函数的关系
• §3.5 本章小结
• 第四章 Bent序列的构造
• §4.1 基本概念和结论
• §4.2 Bent序列的构造
• §4.3 本章小结
• 结束语
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士学位期间的研究成果