抛物型偏微分方程中未知区域重构的反问题及其算法

论文摘要

在论文中,我们主要讨论介质的无损测试,在实际中,我们可以通过声波,电磁波,电流和热流来确定介质中的裂缝,空腔以及内含物。在本文中,我们在介质的边界上施加热流,并测量相应边界的温度,由此来重构热导体介质中的内含物。第一章,我们介绍了所研究的问题的背景,主要来自于介质的无损测试,并且,我们给出了相关的主要结论。第二章,我们给出了基本的空间的定义,以及其相关的性质。并且我们还介绍了正则化方法,它将应用于我们的数值计算中。第三章,在本章中,我们给出了热方程的数学模型,以及热方程相关的一些基本的性质。最后我们利用有限元方法,给出了热方程正问题的数值解法。第四章,我们将应用探针法,从Neumann-to-Dirichlet映射来确定同向同性介质中的内含物。简单的讲,探针法就是基于探针来构造一个指示函数I,当探针接触到未知内含物的边界时,指示函数将会爆破。利用这种性质,我们可以重构得到内部未知内含物的边界。对于一维和二维的热方程,我们将证明这种爆破的性质,并且我们给出了探测法的数值实现。第五章,我们将介绍在热成像中的内含物的大小的估计方法,在热成像中,我们可以在边界上施加热流,然后再测的边界上的温度,利用这些边界测量的数据,我们将给出完全包含在Q中内含物D的大小的估计。并且,通过选择两种不同的边界条件,我们进行数值测试,数值的结果表明我们的方法准确而有效。

论文目录

• 中文摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 研究背景
• 1.2 已有的主要结论
• 1.2.1 探测法的理论与数值结果
• 1.2.2 大小估计在EIT中的应用
• 1.3 本文的主要结论
• 1.3.1 探测法在热传导方程的应用
• 1.3.2 大小估计方法在热成像中的应用
• 第二章 预备知识
• 2.1 基础理论
• 2.2 正则化方法简介
• 第三章 正问题的理论和计算
• 3.1 正问题的数学解析
• 3.2 正问题的数值解
• 第四章 探测法重构热导体中的内含物
• 4.1 反问题模型与动态探测法
• 4.2 基本理论
• 4.3 一维热方程中探测法的应用
• 4.3.1 理论解析
• 4.3.2 Runge逼近的数值实现
• 4.3.3 计算方法及数值例子
• 4.4 二维热方程中探测法的应用
• 4.4.1 理论解析
• 4.4.2 Runge逼近的数值实现
• 4.4.3 计算方法及数值例子
• 第五章 热导体中内含物大小的估计方法
• 5.1 问题的提出
• 5.2 理论解析
• 5.3 数值试验
• 附录A:Runge逼近定理的证明
• 参考文献
• 致谢
• 作者已发表或已完成的论文