论文摘要
试验设计在农业、工业、科学研究等领域中一直扮演着重要的角色。传统的试验往往比较费时费力,甚至有的试验是破坏性的,而随着计算机技术的快速发展,计算机试验应运而生,而且越来越不可或缺。与传统试验相比,计算机试验不存在随机误差,也就是说,相同的输入值会产生相同的输出值。因此,传统试验设计的三个准则——重复、随机化和分区组（Wu and Hamada （2009））,在计算机试验的设计和分析中是不需要的。近些年来,计算机试验的设计与分析得到了快速的发展。设计方面最常见的是空间填充设计,包括拉丁超立方体设计（Mckay, Conover and Beckman （1979））、均匀设计（]Fang, Li and Sudjianto （2006））及其一系列的改进；分析方面,在Sacks, Welch, Mitchell and Wynn （1989）把kriging建模方法引入计算机试验以后,此方法得到了广泛的使用和显著的发展。本文所研究的是计算机试验中的一些最新课题,包括适应于不同精度、同时含有定性定量因子以及含有分支因子和嵌套因子计算机试验的拉丁超立方体设计的构造。计算机试验的主要目的是模拟复杂的系统,比如天气变化、导弹轨迹等,从而更好地认识其中的规律,进而做出预测。对复杂的系统,我们通常会用一个拟模型去近似,而计算机试验在模拟这些复杂系统得到试验数据之后,会建立简单的替代模型。然而,即便如此简单化,做一次试验往往依然需要大量的时间,比如,使用有限元分析方法或者有限差分方法的计算机代码。对于这样的大型程序,科学家发现可以在不同的精度下运行,比如高精度和低精度,提出了相应的设计构造方法和分析方法。由于高精度的试验运行比较慢,但是得到的结果会更接近真实,而低精度的试验运行快,但是结果却不够精确,于是可以多做一些低精度的试验,建立低精度的模型,然后在已经做过低精度试验的一部分试验点上做高精度的试验,最后再用高精度的试验数据对低精度的模型进行调整修正。分析方面的文献主要有Kennedy and O’Hagan （2000）, Qian, Seepersad, Roshan, Allen and Wu （2006） and Qian and Wu （2008）.另外,针对于这种两精度试验的数据采集,嵌套空间填充设计非常流行,文献包括Qian, Tang and Wu （2009）, Qian, Ai and Wu （2009）, Qian （2009）, Haaland and Qian （2010）, Sun, Yin and Liu （2013）, Sun, Liu and Qian （2013）, Yang, Liu and Lin （2014）等等。特别地,Qian （2009）构造了嵌套拉丁超立方体设计。所谓的嵌套拉丁超立方体设计是指,一个大的拉丁超立方体设计包含一个小的拉丁超立方体设计作为子集。比如对k个精度的计算机试验,Qian （2009）的方法可以构造k层嵌套拉丁超立方体设计D1,…,Dk来进行,其中D1,…,Dk通常要满足下面的条件：（1）嵌套结构：D1（?）…（?）Dk；（2）拉丁超立方体设计：每个Di都是拉丁超立方体设计。另外,早期的计算机试验所考虑的因子一般都是定量的（Santner, Williams and Notz （2003）, Fang, Li and Sudjianto （2006））,但是计算机试验中是可以存在定性因子的。比如Schmidt, Cruz and Iyengar （2005）考察了一个设备中热空气扩散的试验,其中扩散器的位置、热空气回流通道的位置都是定性因子。此外, Han, Santner, Notz and Bartel （2009）考察的假肢模型,其中假肢所承受力的方式也是定性因子。所以,考察同时含有定性和定量因子的计算机试验的设计构造与分析是有意义的。关于这方面试验的设计构造的文献主要有Qian and Wu （2009）, Qian （2012）, Yang, Lin, Qian and Lin （2013）, Huang, Yang and Liu （2013）, Yang, Chen, Lin and Liu （2013）等,分析方面主要有文献Qian, Wu and Wu （2008）, Han, Santner, Notz and Bartel （2009）, Han, Santner, Notz and Long （2009）, Zhou, Qian and Zhou （2011）等。特别地,Qian （2012）提出了分片拉丁超立方体设计,它是一种特殊的拉丁超立方体设计,可以分成若干片,且每一片都是一个小的拉丁超立方体设计,每一片对应着试验中定性因子的一个水平组合。和普通的拉丁超立方体设计一样,Qian （2012）提出的分片拉丁超立方体设计只能保证一维投影均匀性,不能保证在整个试验区域上的均匀性,本文将利用中心化的L2偏差准则（Hickernell （1998））对分片拉丁超立方体设计进行优化,通过门限接受算法（Dueck and Scheuer （1990））构造均匀的分片拉丁超立方体设计。除此之外,由于每一片也是一个拉丁超立方体设计,所以每一片在试验区域上的均匀性也是需要考虑的,我们将把设计的整体均匀性和各片均匀性结合在一起考虑,提出一个新的加权准则来对分片拉丁超立方体设计进行优化,得到均匀性更好的分片拉丁超立方体设计。此外,我们发现在Qian （2009）提出的嵌套拉丁超立方体设计中,没有分片结构。也就是说,他的设计不能适应高低精试验中含有定性定量因子的情形,而高精度试验和低精度试验完全有可能都存在定性定量因子,为了适应这种情况,在嵌套拉丁超立方体设计中,需要有分片结构。为此,本文将提出带有分片结构的嵌套拉丁超立方体设计的概念及其构造方法,并将通过模拟验证这种改进的嵌套拉丁超立方体设计在建模的精度上比Qian （2009）中的普通嵌套拉丁超立方体设计要好。在计算机试验中,还经常会遇到有分支因子和嵌套因子的情况。嵌套因子依赖于分支因子的水平,在分支因子的不同水平下,存在着不同的嵌套因子。例如,在Hung, Joseph and Melkote （2009）一文中,讨论的生产电路板的例子就有分支因子和嵌套因子。在清洁电路板时,有两种方法：机械擦拭和化学处理。如果采用机械擦拭,那么就要考察擦拭力度大小的不同效果；如果采用化学处理,就要考察不同腐蚀速率的效果。在这个试验中,清洁方法就是分支因子,是定性因子,它有两个水平：机械擦拭和化学处理。而擦拭力度是定量因子,且只存在于机械擦拭这个方法下,腐蚀速率也是定量因子,且只存在于化学处理这个方法下。对于这种试验,Hung, Joseph and Melkote （2009）提出了分支拉丁超立方体设计,很好地解决了这种情况下的设计与分析。然而,他们没有考虑对于定性的分支因子,整体设计中需要有分片的结构。此外,他们只考虑了嵌套因子是定量的情况,没考虑嵌套因子也是定性的情况,而这种情形也是存在的。对于分支因子和嵌套因子都是定性的情形,设计需要重新构造。所以,本文一方面将通过对分支拉丁超立方体设计添加分片结构使之得到改进,另一方面将针对分支和嵌套因子都是定性的情况构造新的设计。下面我们简要介绍本论文各章的主要内容。第一章介绍本文涉及的一些背景知识、用到的基本概念和符号。第二章构造了带有分片结构的嵌套拉丁超立方体设计。嵌套拉丁超立方体设计是针对多精度的计算机试验提出来的,而分片拉丁超立方体设计是针对同时含有定性定量因子的计算机试验提出来的,也就是说,它们是被独立地提出、独立地研究的,然而这两种情形是可能在同一试验中出现的,比如一个含有定性定量因子的试验需要在不同精度下完成。对此种情况,普通的嵌套拉丁超立方体设计和分片拉丁超立方体设计都不能很好地适应。本章提出了带有分片结构的嵌套拉丁超立方体设计来适应这种情况,给出了一般的构造方法,且简便易行。另外,还利用Matlab软件包DACE建立了Gauss kriging模型,结果表明新的具有复杂结构的拉丁超立方体设计的效果要好于普通的嵌套拉丁超立方体设计和分片拉丁超立方体设计。第三章讨论了均匀分片拉丁超立方体设计的构造。分片拉丁超立方体设计也是一种复杂结构的拉丁超立方体设计,它能够分成若干片,且每一片都是一个小的拉丁超立方体设计。这种设计保留了普通拉丁超立方体设计的一维投影均匀性,但是却也无法保证试验点在整个试验区域上均匀性。本章首先利用中心化L2偏差对整个设计在试验区域上的均匀性进行了优化,得到了整体均匀的分片拉丁超立方体设计。进一步考虑到每一片的均匀性也需要优化,本章又提出了一个带权重参数的组合优化准则,即把设计的整体均匀性和各片均匀性用一个权重参数结合到一起的准则,在此准则下得到的设计可以同时照顾到整个设计和每一片的均匀性。另外,还利用画"ω-trace"（这里ω为权重参数）的方法来确定了合适的权重参数。第四章给出了改进的分支拉丁超立方体设计和双分片拉丁超立方体设计的构造方法。计算机试验经常会遇到带有分支因子和嵌套因子的情形,Hung,Joseph and Melkote（2009）提出了分支拉丁超立方体设计来适应这种情形。但是由于分支因子是定性的,而分支拉丁超立方体设计中并没有分片结构来适应,所以本章通过把分片结构嵌入分支拉丁超立方体设计中改进了分支拉丁超立方体设计。另外,本章还考虑了嵌套因子也是定性因子的情况,这种情况下需要的设计是不同于前者的,为此本章构造了双分片拉丁超立方体设计。第五章对本文的工作进行了总结与讨论。
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标签：计算机试验论文; 嵌套拉丁超立方体设计论文; 分片拉丁超立方体设计论文;