论文摘要
由于树图及邻接树图在通讯网络拓扑结构中的应用，它的相关性质被众多的学者进行了广泛深入的研究。人们尤其对树图中有k个悬挂点的支撑树的内插性质产生了极大的兴趣。Chartrand曾提出过这样的公开问题：如果一个图G具有圈ρ，且该图G有两个分别含m和n个悬挂点的支撑树（m＜n），则该图G是否有一个含有k个悬挂点的支撑树（m＜k＜n）?Cai和Schuster分别用不同的办法独立地证明了这样的支撑树是肯定存在的。后来，Lin也对上述问题提出了新的的办法。但是他们只证明了这样的支撑树的存在性。在1988年，Katherine Hcinrich和刘桂珍也给出了上述问题的详细证明，他们不仅证明了存在这样的支撑树，而且还证明了这样的支撑树的个数与图G的圈秩有关，并给出了它的最佳下界。类似树图我们可以定义2-连通图G的（?）-图（?）（G）及邻（?）-图A（G）。图G的单圈支撑子图S定义为图G的支撑树T再加上一条边e（e∈G），即S=T+e。则图G的（?）-图定义为：点集V（（?）（G））是把G的所有单圈支撑子图作为（?）（G）中的点的集合，边SS′∈E（（?）（G））当且仅|E（S）⊕E（S′）|=2。类似地，我们定义图G的邻（?）-图A（G）如下：A（G）为（?）（G）的支撑子图，且A（G）中有边SS′∈E（A（G）），如果S′=S-uv+uw（其中边uv∈S，边uw（?）S）。本文从2-连通图出发，运用一个树的两个基本圈之间存在圈链这一性质，研究了其邻（?）-图A（G）的结构并得到以下的结果：1．利用2-连通图G的邻接单圈支撑子图的定义和支撑树的性质，得到了两个邻接单圈支撑子图S，S′具有同一支撑树这一性质，同时利用归纳假设的方法，证明了图G中连接圈Cx，Cy的初等圈链的存在性。2．通过分情形讨论以及前面所证明的圈链的存在性，得山了邻（?）-图A（G）及其导出子图H的连通性。由此证明得到定理A。即设S，S′为2-连通图G中两个单圈支撑子图，则在（?）（G）中至少有2（ρ-1）条内部不交路连S和S′。这里，ρ是G的圈秩。3．利用2-连通图G的（?）-图的连通性质，得出了定理B。即如果一个2-连通图G有两个单圈支撑子图，且这两个单圈支撑子图分别含m和n个悬挂点（m＜n），则图G至少有2（ρ-1）个含k个悬挂点的单圈支撑子图。这里圈秩ρ=|E（G）|-|V（G）|+1，其中m≤k≤n。不难看出，这里的单圈子图实质上是射影平面上的单面嵌入图，而以上结果是定理1.5和定理1.6在射影单面上单面嵌入图方面的推广。沿着这一思路，我们不难提出和发现一般曲面上单面嵌入图中相应平行理论和结果，而这些将会为一般嵌入图理论研究打下基础。